特異分布

特異分布

概要

特異分布は、確率論の研究領域において重要な概念の一つです。この種の確率分布は、その確率質量がルベーグ測度ゼロの集合上に集中して割り当てられているという独特な特性を持っています。つまり、特定の点を個別に選んだ場合の確率は常にゼロであるにも関わらず、その確率の総和が1となるような分布が、ルベーグ測度ゼロの特定の集合上に「集積」している状態を指します。しばしば「特異連続分布」とも称されることがあります。これは、離散的な点に確率が割り当てられているわけではない（すなわち離散分布ではない）が、ルベーグ測度に関して絶対連続でもないという、連続的な性格を持ちながらも通常の連続分布とは異なる特異な性質を持つことからこのように呼ばれます。

主要な特性

特異分布の最も根本的な数学的性質は、それがルベーグ測度に対して絶対連続ではないという点です。絶対連続性とは、ルベーグ測度がゼロであるような任意の集合に対しても、その集合に割り当てられる確率が必ずゼロになるという性質を指します。しかし、特異分布の場合、確率質量がまさにルベーグ測度ゼロであるような集合上に集中しているため、この絶対連続性の条件を満たしません。これは、確率が「薄く」全体に広がっているのではなく、特定の「細く」かつ「測度ゼロ」な構造の上に「濃く」集まっているイメージです。

他の確率分布との比較

特異分布は、他のよく知られた確率分布のタイプ、特に離散確率分布や絶対連続確率分布とは明確に区別されます。

離散確率分布では、可算個の点に正の確率が割り当てられています。つまり、特定の点がゼロではない確率を持つことが許されます。しかし、特異分布では、定義により、いかなる点も単独で選ばれる確率はゼロです。この点で、特散分布とは異なります。

一方、絶対連続確率分布は、確率密度関数を持ち、その確率をルベーグ積分によって計算することができます。絶対連続分布においては、確率密度関数が定義されている集合全体がルベーグ測度に関して正の測度を持ちます。しかし、特異分布は確率密度関数を持ちません。もし仮に確率密度関数が存在するとすれば、その関数を確率質量が集中しているルベーグ測度ゼロの集合上で積分した結果はゼロになってしまいます。これは確率分布全体の確率が1になるという基本的な性質と矛盾するため、特異分布は確率密度関数を持つことができないのです。

したがって、特異分布は、離散分布でもなく、かつ絶対連続分布でもない、これら二つのタイプの「中間」あるいは「どちらでもない」第三の範疇に位置づけられる確率分布と言えます。

具体例

特異分布の古典的かつ代表的な例として、カントール分布が挙げられます。カントール分布は、カントール集合と呼ばれるフラクタル的な構造を持つ集合上に定義される確率分布です。カントール集合は、その構造からルベーグ測度がゼロであるにも関わらず、非可算無限個の点を含むという非常に特異な性質を持っています。カントール分布はこの測度ゼロの集合上に確率質量が集中しており、個々の点の確率はゼロでありながらも、集合全体としての確率は1となります。

関連概念

特異分布は、測度論における特異測度の概念と密接に関連しています。ルベーグ測度に関して絶対連続な部分を持たない測度を特異測度と呼びますが、特異分布に対応する確率測度は、このような特異測度の一例となります。また、任意の確率測度を絶対連続な部分、特異連続な部分、離散的な部分の和として一意に分解できることを示すルベーグの分解定理においても、特異分布（より正確には特異連続分布に対応する測度）はその分解における重要な要素として登場します。これにより、あらゆる確率分布が、これらの基本タイプの一部または全部から構成されることが示されます。

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