状態方程式 (宇宙論)

完全流体の状態方程式について

宇宙論における完全流体の状態方程式は、エネルギー密度と圧力の関係を無次元数で表したもので、次の式で特徴付けられます。

状態方程式の定義

状態方程式は以下のように表現できます。
$$\ w = \frac{p}{\rho}$$
ここで、$\ w$は無次元数で、$p$は圧力、$\rho$はエネルギー密度を指します。この数値は流体の特性を示し、その値によって流体の性質が異なります。特に、$w$の値に応じて、流体は異なる振る舞いを示します。

完全気体の状態方程式

さらに、完全気体の状態方程式は以下のように表現されます。
$$\ p = \rho_{m}RT = \rho_{m}C^{2}$$
ここで、$\rho_{m}$は物質の密度、$R$は気体定数、$T$は温度、$C$は特定の熱力学的速度を示します。特に、冷たい流体の場合、光速よりもずっと小さいことが仮定され、その結果、$w$の値はおおよそ $0$ となります。これによって、エネルギー密度$\rho$は、$\rho_{m}c^{2}$となります。

FLRW方程式と状態方程式

完全流体の状態方程式は、宇宙の進化に関するフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー（FLRW）計量に適用されます。膨張因子$\ a$が与えられている場合、エネルギー密度の変化は以下のように表されます。
$$\rho \propto a^{-3(1+w)}$$
平坦な宇宙で物質が支配的な場合、膨張因子は次のように時間と関連しています。
$$\ a \propto t^{\frac{2}{3(1+w)}}$$
ここで、$t$は固有時を示しています。

エネルギー密度と圧力の関係

宇宙の加速膨張を説明するために、エネルギー密度と圧力を次のように定義することができます。
$$\rho' \equiv \rho + \frac{\Lambda}{8\pi G}$$
$$p' \equiv p - \frac{\Lambda}{8\pi G}$$
このように定義されると、エネルギー密度の加速に関する方程式は、エネルギー密度と圧力の関係を簡素化し、より明確に表現できます。

状態方程式の応用

非相対論的物質

冷たい宇宙などの非相対論的な物質は、$w = 0$の状態にあり、体積によって希釈されることを示します。これは、宇宙の膨張に伴ってエネルギー密度の減少を引き起こします。

超相対論的物質

一方、宇宙背景放射などの超相対論的物質においては、$w = 1/3$となり、エネルギー密度が体積の変化よりも早く減少します。

加速膨張の解明

宇宙の加速膨張は、ダークエネルギーの状態方程式で表され、最簡単な構成は、$w = -1$の宇宙定数の状態です。しかし、$w < -1/3$というより一般的な構成も、宇宙の加速を示すことができます。
このように、さまざまな状況における完全流体の状態方程式は、宇宙の物理的現象に対する理解を深める重要なツールとなります。特にダークエネルギーや宇宙膨張のメカニズムを研究する上で欠かせない要素です。

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