球台

球台（きゅうだい）

球台とは、数学、特に立体幾何学において、球体や球殻といった丸い図形を、互いに平行な二つの平面で切断することによって定義される立体図形を指します。これは、あたかも元の球体の一部を、上下からスパッと切り落としたような形をしています。別の見方をすると、球の頂点を切り取ってできる球冠から、その先端を再び平行な平面で切り落とした残り部分とも考えられます。また、一般的な円錐を平行な平面で切断してできる円錐台になぞらえ、球の錐台に相当するものとして捉えることも可能です。

球帯（きゅうたい）

球台の表面のうち、上下にある二つの平面による底面を除いた部分の曲面は、特に球帯と呼ばれます。この球帯は、球の表面の一部であり、球台の側面を形成しています。球台が立体であるのに対し、球帯は曲面であるという点で異なります。

球台の体積

球台の体積を計算するための公式が存在します。元の球の半径を $R$ とし、球台を切り取る二つの平面によって生じる底面の半径をそれぞれ $r_1$ および $r_2$、そして二つの平行な底面間の垂直距離、すなわち球台の高さを $h$ とするとき、球台の体積 $V$ は以下の式で与えられます。

$$
V = \frac{\pi h}{6}(3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)
$$

この式から、球台の体積は、その高さと二つの底面の半径によって一意に定まることがわかります。

球帯の表面積

球台の側面である球帯の表面積もまた、簡単な式で計算できます。球帯の表面積 $A$ は、元の球の半径 $R$ と球帯の高さ $h$ （これは球台の高さに等しい）を用いて、以下の式で表されます。

$$
A = 2\pi R h
$$

この公式の興味深い点は、球帯の表面積が、その底面の半径 $r_1$ や $r_2$ に依存せず、元の球の半径と高さのみに比例するという性質を持っていることです。この性質は、地図投影法の一つであるランベルト正積円筒図法など、特定の円筒投影図法が等積であることと深く関連しています。

関連する図形

球台は、他のいくつかの球面に関する立体や図形とも関連があります。例えば、球を一つの平面で切断してできる球冠は、球台において一方の底面半径がゼロ（または高さが球の直径と同じで底面が一点になる特殊な場合）と考えられます。また、球の中心を頂点とする錐体で球を切り取った球面扇形（球面錐）や、二つの経線面で挟まれた球面楔形（球面二角形、月形）なども、球体から一部を切り出す際の基本的な図形であり、球台はこれらの図形と共に球面幾何学における重要な要素を構成しています。

球台とその関連図形に関する研究は、古くから幾何学の分野で行われており、その体積や表面積の計算式は様々な応用を持っています。

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