球面三角法

球面三角法

球面三角法は、球面上に描かれた三角形（球面三角形）の辺と角の間の関係性を研究する分野です。平面上の三角形を扱う平面三角法に対し、球面三角法は地球のような球体の表面における測量や天文学、航海術などで重要な役割を果たしてきました。

球面三角形とは

球面上に3点を取り、それらを大円の弧で結ぶことで球面三角形ができます。大円とは、球の中心を通る平面が球と交わってできる円のことで、球面上の2点間を結ぶ最短距離を示します。

球面三角法の基本要素

球面三角形は、3つの角（A, B, C）と3つの辺（a, b, c）の6つの要素を持ちます。ここで、辺の長さは、球の中心から見た中心角の大きさ（弧度法）で表されます。

球面三角法の基本公式

球面三角法には、平面三角法と同様に、正弦定理、余弦定理など、様々な公式が存在します。これらの公式を用いることで、球面三角形の一部の要素が分かれば、残りの要素を計算することができます。

球面余弦定理

球面余弦定理は、球面三角形の3辺の長さとその一つの角の余弦の関係を表します。

math
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

球面正弦定理

球面正弦定理は、球面三角形の辺の正弦とその対角の正弦の比が等しいことを示します。

math
sin a / sin A = sin b / sin B = sin c / sin C

その他の定理

正弦余弦定理、正接定理、余接定理など、球面三角法には様々な定理が存在します。

球面三角形の面積

球面三角形の面積は、平面三角形とは異なり、球の半径と球過量によって計算されます。球過量とは、球面三角形の内角の和からπ（180度）を引いた値です。

直角球面三角形

球面三角形の一つの角が直角である場合、直角球面三角形と呼ばれます。直角球面三角形の場合、公式が簡略化され、計算が容易になります。直角球面三角形を解くためのネイピアの円という便利なツールもあります。

象限三角形

球面三角形の一辺の長さがπ/2（90度）である場合、象限三角形と呼ばれます。

極三角形と双対原理

球面三角形ABCの各辺の極を頂点とする三角形A'B'C'を、元の三角形の極三角形といいます。極三角形を利用することで、球面三角形の法則を別の形で表現することができます。この原理を双対原理といいます。

haversine (半正矢)関数

半正矢関数は、球面上の2点間の距離を求める際に利用される関数です。特に、2点間の距離が短い場合に、計算精度を高める効果があります。

math
hav θ = hav(φ₂ - φ₁) + cos φ₂ cos φ₁ hav(λ₂ - λ₁)

ドランブルの公式

ドランブルの公式（ガウスの公式）は、球面三角形の辺と角の関係を表す公式群です。

ネイピアの公式

ネイピアの公式も、球面三角形の辺と角の関係を表す公式群です。

球面三角法の応用

球面三角法は、天文学における星の位置の計算や、地球上での距離や方位の計算、航空機の航行など、様々な分野で応用されています。現代では電子計算機の発展により、座標変換による計算が主流となっていますが、球面三角法の基本的な考え方は、これらの応用を理解する上で重要です。

参考文献

渡邊敏夫『数理天文学』恒星社厚生閣、1951年
長沢工『天体の位置計算』地人書館、1981年
河瀬和重「球面三角法の簡潔かつ体系的な理解への試み」『国土地理院時報』第132巻、国土地理院、2019年、115–118頁

関連項目

球面幾何学
* 三角測量

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