大円

球面上の大円：定義と性質

球面幾何学において、大円（Great Circle）とは、球の中心を通る平面と球面との交線によって形成される円です。これは、球面上において描くことのできる最大の円であり、その直径は球の直径と一致します。そのため、すべての大円は同じ中心と周長を持ちます。大円は、球の中心を通らない平面と球面との交線である小円とは対照的な存在です。三次元ユークリッド空間内の任意の円は、必ずただ一つの球の大円となります。

大円上の位置を示すために、極（北極と南極）と赤道という概念を用います。大円上で極に最も近い点を頂点、赤道と交わる点を交点と呼びます。

球面上の任意の2点（対蹠点のペアを除く）を通る大円はただ一つに定まります。対蹠点（球の中心に関して互いに反対側に位置する2点）のペアの場合は、無限個の大円が存在します。

2点を結ぶ大円上の劣弧（円周の一部）は、その2点を結ぶ球面上の最短経路となります。これは、ユークリッド幾何学における直線に相当する概念です。リーマン幾何学において、大円の劣弧の長さを2点間の距離と定義すると、大円はリーマン円と呼ばれます。大円は球面の測地線でもあります。高次元の場合、n次元球面上の大円は、原点を通る2次元平面とn次元球面との交線として定義されます。

最短経路の導出：変分法による証明

大円上の劣弧が球面上の2点間の最短経路であることを、変分法を用いて証明できます。点pから点qへの経路全体の集合を考え、球面座標系を用いて点pを北極に配置します。極を通らない任意の球面上の曲線は、媒介変数表示によって

θ = θ(t), φ = φ(t), (a ≤ t ≤ b)

と表現できます。ここで、φは任意の実数値をとります。この座標系における無限小弧長(線素)は

`ds = r√(θ'² + φ'²sin²θ)dt`

で与えられます。したがって、点pから点qへの曲線γの弧長は、

`S[γ] = r∫[a,b] √(θ'² + φ'²sin²θ)dt`

という汎関数で表されます。オイラー・ラグランジュ方程式を用いてS[γ]を最小化すると、以下の式が得られます。

`(sin²θφ')/√(θ'² + φ'²sin²θ) = C`

`(sinθcosθφ'²)/√(θ'² + φ'²sin²θ) = d/dt(θ'/√(θ'² + φ'²sin²θ))`

ここでCはtに依存しない定数です。これらの式から、

`φ' = (Cθ')/(sinθ√(sin²θ - C²))`

という関係が導かれます。両辺を積分し境界条件を考慮すると、Cの実解は0となり、φ' = 0となります。これは曲線が球面上の経線上にあることを意味し、直交座標系では、

`xsinφ₀ - ycosφ₀ = 0`

という式が得られます。これは原点を通る平面を表し、最短経路が球の中心を通る平面、つまり大円上にあることを示しています。

大円の応用

大円は、天文学や航海、測地学など様々な分野で応用されています。天球上の例として、天の地平線、天の赤道、黄道などが挙げられます。地球は完全な球ではなく回転楕円体ですが、地表上の測地線の高精度近似として大円が用いられ、航空路や航路である大圏コースが設定されます。地球の赤道も大円であり、任意の経線とその反対側の経線を組み合わせても大円となります。また、地球の大円は、大地と水の半球を分割したり、地球を2つの半球に分けることができます。ある点が大円上にあるならば、その対蹠点も必ずその大円上にあるという性質も重要です。

ファンク変換は、関数で大円上積分する手法です。

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