球面波

球面波とは

球面波とは、3次元空間における点波源から放出される波動の一形態です。この波動は、放射状に広がりながら同じ位相を持つ波面を形成し、それらは点波源を中心とした同心球面を描きます。球面波は、その性質上、波源に対して完全な球対称を保ちます。球面波の挙動は、3次元波動方程式の球対称解として数学的に記述されます。

球面波の表現式

球面波を数学的に表すための式には、いくつかの形式がありますが、主に次の二つが一般的です。

1. $$\psi (r, t) = \frac{f(r \pm vt)}{r}$$
2. $$\psi (r, t) = \frac{1}{r} F\left(t \pm \frac{r}{v}\right)$$
ここで、$r$は波源からの距離、$t$は時間、$v$は位相速度を意味します（$v > 0$）。

方程式の導出

球面波に関する式は、まず三次元の波動方程式から出発します。この波動方程式は次のように表されます。
$$\Delta \psi = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$$

ここで、波源を原点、すなわち$(x,y,z)=(0,0,0)$としたとき、波動の性質を理解するために球座標に変換し、角度に依存しない設計を施します。

この結果、次のような形の導出に至ります：
$$\Delta \psi = \frac{2}{r}\frac{\partial \psi}{\partial r} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial r^2}$$
ここにおいて、$r$は球面の半径を表し、球座標における波動の表現へと繋がります。

特徴と振幅の減衰

球面波の特徴の一つとして、波源からの距離が増すにつれて振幅が減衰する点があります。具体的には、距離が無限大になると振幅はゼロに近づきます。振幅は波源からの距離に反比例しているため、これが減衰の原因となります。

また、波動の性質は半径からの方向に依存せず、距離と時間の経過にのみ関係します。波源から遠く離れた地点では、波の形状が平面に近づくため、広範囲での近似として平面波を用いることができます。特に調和球面波の場合、エネルギーの強度は距離の2乗に反比例するという「逆2乗の法則」が成り立っています。

調和球面波

調和球面波は、球面波の特別な形式であり、次の式で表されます：
$$\psi (r, t) = \frac{A}{r}\sin[ k(r \pm vt + \delta)]$$
ここで、$A$は波源強度を表し、$k$は波数、$\omega$（角振動数）、$\delta$は初期位相として定義されます。

調和球面波のエネルギー

波動の強度$I(r)$は、単位面積あたりに単位時間で運ばれるエネルギー量であり、次の式で示されます：
$$I(r) = \frac{2\pi^2 \rho v
u^2 \left(\frac{A}{r}\right)^2}{r^2}}
ここで、$\rho$は媒質の密度、$
u$は振動数を示します。この式から、調和球面波の強度が逆2乗の法則に従っていることが確認できます。

関連項目

• - 波動
• - 平面波
• - 逆2乗の法則

このように球面波は、波動の基本的な概念を示す重要な例であり、その数理的な特性や物理的意味を理解することは波動の研究において不可欠です。

もう一度検索