距離

距離とは

距離（きょり、英：distance）は、2つの点の間における長さを表す概念です。本項では、日常生活や高等学校以上の数学においてどのように使われるかについて詳述します。

距離と長さの違い

距離は、時間や質量と並ぶ基本的な計量単位の一つです。日本の計量法や国際単位系（SI）第9版（2019年）では、正確には「距離」の語は使用されず、「長さ」（英：length）という用語が用いられます。天文単位や海里も、一時は距離の単位とされましたが、最新の国際単位系の文書ではそれぞれ「長さの単位」という定義に変更されています。このように、計量法では古くから「距離」という用語を用いず、「長さ」のみを使うことが一般的です。

日常における距離の使われ方

日常会話では、家から駅までの距離や、東京から大阪までの距離というように、比較的長い距離を表すために用いられます。一方で、「長さ」は鉛筆の長さや廊下の長さというように、より短い物に使われることが多いです。具体的な距離の指し示し方にはいくつかのバリエーションがあります。例えば、直線距離と特定の経路を基準にした距離の使い分けで、前者を「距離」、後者を「道程」（みちのり）と呼ぶことがあります。

最短距離という概念も重要です。異なる経路がある場合、その中で最も短い距離を最短距離といい、この経路を最短路と呼びます。

ユークリッド幾何学における距離

この記事では、高校数学でよく扱われるユークリッド距離についても解説します。

1次元空間の2点間の距離

1次元空間における2点間の直線距離は、以下の数式で表されます。

\[ |x_1 - x_2| \]

この場合、単純に2つの点の座標の差の絶対値を考えます。

2次元空間の2点間の距離

2次元での距離は、次の式で表されます。

\[ \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \]

この式では、x座標とy座標の差を二乗し、それらを足した後、平方根を取ります。

3次元空間の距離

3次元空間における距離は、次のように表されます。

\[ \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2} \]

これらの計算は、解を導くための直線距離を明確に示しています。特に、ある2点間を直線に沿って測定する場合、その結果として最短の距離を得ることができます。なお、球面上にある2点の直線距離は、通常の平面とは異なる計算方法が求められます。

その他の距離の概念

直線から点までの距離や、点から平面までの距離といった異なる概念も存在します。特に、点から直線への距離は、垂直に下した線分の長さであり、最短距離を示します。また、平行線や平面の間の距離も同様に定義されます。

抽象的な距離に関する見解

高等学校までの数学教育では、距離とは一般的にユークリッド距離を指しますが、現代の数学ではより一般的な距離の定義が紹介されています。任意の2点に対して負でない実数を関連付ける関数が「距離関数」と呼ばれ、特定の性質を満たす必要があります。これにより、多様な距離の概念が生まれ、応用の幅が広がります。

例えば、マンハッタン距離は、平面上の点のx座標とy座標の差の絶対値を足し合わせたものです。このように、距離は視覚的アイデアと抽象的概念の交わる重要なテーマです。更に、時間距離という概念も存在し、移動にかかる時間を距離として表現します。

結論

距離という概念は、日常生活から数学の様々な分野まで広く用いられ、多くの異なる側面と定義を持っています。ユークリッド幾何や現代の数学における抽象的な視点を通じて、距離に対する理解を深めていくことが重要です。

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