平面波

平面波：その定義と性質

平面波とは、波の等位相面が平面状に広がる波動現象を数学的に表現したものです。位相が一定となる面（等位相面）が全て平面で構成されており、その平面に垂直なベクトルを波数ベクトルといいます。平面波は、時間変数を含む場合と含まない場合があり、それぞれ異なる数学的性質を持ち、物理現象の記述において重要な役割を果たします。

時間変数を持たない平面波

時間変数を持たない平面波は、主に周期関数のフーリエ級数展開やフーリエ変換、時間発展を考慮しないシュレーディンガー方程式の計算などに利用されます。これは、特定の時刻における波の空間的な広がりを表す関数として理解できます。d次元空間における時間変数を持たない平面波Ψ(x)は、周期2πの実1変数周期関数fとd次元波数ベクトルkを用いて、以下の式で表現されます。

Ψ(x) = f(2πk・x)

ここで、k・xは波数ベクトルkと空間座標ベクトルxの内積を表します。この式は、波数ベクトルの方向に沿って波が伝播していく様子を記述しています。

時間変数を持つ平面波

時間変数を持つ平面波は、波動方程式の解として現れ、波の空間的な広がりと時間的な変化を同時に表現します。d次元空間における時間変数を持つ平面波Φ(x,t)は、周期2πの実1変数周期関数f、波数ベクトルk、角振動数ωを用いて、以下の式で表現されます。

Φ(x,t) = f(2π(k・x - ωt))

この式は、波が波数ベクトルkの方向に速度ω/|k|で伝播する様子を表しています。時間変数を持つ平面波は、時間とともに位相が変化し、波が空間を伝播していく様子を動的に記述します。

時間変数を持たない平面波と時間変数を持つ平面波の関係

数学的には、時間変数と空間変数はどちらも単なる変数です。そのため、時間変数を持つd次元平面波は、時間変数を持たないd+1次元平面波と見なすことができます。時間変数を持つ平面波の式において、空間成分kと時間成分-ωを並べたd+1次元ベクトルKと、空間変数xと時間変数tを並べたd+1次元ベクトルXを定義すると、時間変数を持つ平面波の式は時間変数を持たない平面波の式と同様の形で表現できます。

Φ(x,t) = f(2πK・X)

この関係によって、時間変数を持つ平面波と時間変数を持たない平面波の数学的統一性が示されます。

正弦平面波

正弦平面波は、平面波の中でも最も基本的な波で、正弦波を多次元空間に拡張したものです。実正弦平面波と複素正弦平面波があり、それぞれ振幅A、波数ベクトルK、位相項δによって特徴付けられます。実正弦平面波は三角関数cosを用いて、複素正弦平面波は指数関数expを用いて表現されます。複素正弦平面波は、実正弦平面波の重ね合わせを計算する際に便利なだけでなく、量子力学においても重要な役割を果たします。

フーリエ級数展開と平面波

周期関数は、平面波の重ね合わせで表現できます。これはフーリエ級数展開と呼ばれ、周期関数を解析する強力なツールです。一変数関数のフーリエ級数展開はよく知られていますが、多次元関数のフーリエ級数展開も同様に定義でき、平面波を用いて表現できます。多次元フーリエ級数展開は、多次元周期関数を様々な平面波に分解し、それぞれの平面波の振幅を計算することで元の関数を再構成する手法です。

量子力学における平面波

量子力学において、自由粒子のエネルギー固有状態と運動量固有状態は平面波で表現されます。これは、自由粒子が空間を一定の速度で運動する状態に対応しています。しかし、平面波は空間的に無限に広がっているため、現実の物理系を直接表現するには不適切な場合もあります。そのため、現実的な物理系を扱う際には、より局在した基底関数を用いた方が適切です。

第一原理バンド計算

第一原理バンド計算は、物質の電子状態を計算する手法です。この計算において、平面波基底関数は、比較的簡単に計算でき、力やストレスの計算も容易であるため、広く用いられます。しかし、波動関数を原子軌道毎に分割したり、特定の原子周りの電荷密度を求めることが困難なため、局在基底との併用なども検討されています。

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