環の根基

環論における根基の理論

環論は、数学の中で環と呼ばれる代数的構造を研究する分野です。この文脈で「根基」とは、環の「悪い」元を集めたイデアルを指します。根基の概念は多くの数学者によって発展してきました。最初に提案された冪零根基は、1908年にWedderburnが言及し、その後1930年にKötheによって正式に導入されました。その後、さまざまな根基が発見され、中でもジャコブソン根基は非常に重要な例とされています。

根基の定義と性質

根基に関する理論では、環は通常結合的（多くの演算が成り立つ）ですが、可換である必要はなく、単位元の存在も仮定していません。根基クラス（radical class）は、特定の性質を満たす環のクラスであり、以下の三つの条件を満たします：

1. クラスに属する環の準同型像もまたクラスに所属する。
2. 任意の環は、その環に含まれる他の全てのイデアルを含むイデアルを持つ。
3. 特定のイデアルがゼロになることを示す。

このような根基の研究は、安全な環の性質を理解する torsion theory と呼ばれています。また、任意の環のクラスには、それを包含する最小の根基クラスが存在し、これを lower radical と呼びます。同様に、正則な環のクラスについては upper radical が存在し、これに関する作用素がそれぞれ定義されています。

代表的な根基の例

ジャコブソン根基

ジャコブソン根基（J(R)）は、任意の環 R のすべての単純右 R-加群の零化イデアルの共通部分として定義されます。この根基にはいくつかの同値な特徴が存在します。特に、J(R)はRの正則極大右イデアルの共通部分であり、すべての右原始イデアルの共通部分でもあります。可換環の時には、ジャコブソン根基は常に冪零根基に含まれ、一般的には任意のイデアルの根基はすべての極大イデアルの共通部分と一致します。

Baer根基

Baer根基は、環 R のすべての素イデアルの共通部分です。この根基は、すべての元が冪零であることに由来し、冪零環の下での lower radical に含まれています。Baer根基は、別名

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