孤立特異点

複素解析における孤立特異点

複素解析において、関数の特異点とは、関数が正則でない点のことです。特異点の中でも、周囲に他の特異点が存在しないものを孤立特異点と呼びます。より正確には、特異点z₀を中心とするある開円板において、z₀を除いた領域で関数が正則となる場合、z₀は孤立特異点です。

孤立特異点は、その性質によって以下の3種類に分類されます。

可除[[特異点]]: 関数をz₀で定義し直すことで正則にできる特異点。ローラン展開において、負べきの項がすべて0の場合に相当します。
極: ローラン展開において、負べきの項が有限個存在する特異点。関数の値が発散する性質を持ちますが、その発散の仕方が特定の型に収まります。
真性特異点: ローラン展開において、負べきの項が無数に存在する特異点。関数の値が非常に複雑な振る舞いをするため、極のように単純な発散とは異なります。

多くの複素解析の定理、例えばローラン展開や留数定理は、関数の特異点がすべて孤立していることを前提としています。これらの定理は、孤立特異点の解析に強力なツールを提供します。

非孤立特異点

孤立特異点の対義語として、非孤立特異点が存在します。これは、その周囲に必ず他の特異点が無限に存在する特異点です。非孤立特異点には、主に以下の2種類があります。

密集点: 孤立特異点の集積点。例えば、無限個の極が一点に集まっている場合、その集積点が密集点となります。この場合、その点の近傍には常に特異点が存在するため、ローラン展開は定義できません。
* 自然境界: 関数を解析接続できない境界線。関数の定義域の境界上に存在し、その境界を超えて関数を拡張できない場合、その境界が自然境界となります。この境界線上には、無限個の特異点が密集していると考えられます。

具体例

関数f(z) = 1/z は、z = 0 を孤立特異点（極）として持ちます。z = 0 の近傍では、他の特異点は存在しません。

一方、関数f(z) = tan(1/z) は、z = 0 を非孤立特異点（密集点）として持ちます。なぜなら、tan(x) はx = π/2 + nπ (nは整数) で極を持つため、1/z = π/2 + nπ を満たすzはすべてf(z)の極となります。これらの極はz = 0 に集積するため、z = 0 は密集点となります。

関数f(z) = csc(π/z) も z = 0 を非孤立特異点とします。これは0に限りなく近い整数の逆数に特異点が必ず存在するからです。

さらに、級数∑(n=0 to ∞) z^(2^n) で定義される関数は、単位円を自然境界として持ちます。単位円上には無限個の特異点が密集しており、その内部では正則です。

まとめ

孤立特異点は、複素解析において重要な役割を果たします。その種類を理解し、非孤立特異点との違いを認識することで、複素関数の挙動をより深く理解することができます。特に、ローラン展開や留数定理といった強力な手法は、孤立特異点の存在を前提としています。これらの概念は、複素解析の更なる学習に不可欠です。

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