右手系

右手系とは

右手系（right-handed system）は、線形代数学における座標系の一種で、右手の法則に従うものを指します。これは、空間における軸の向きを定める方法の一つであり、左手系と区別されます。

定義

n次元ユークリッド空間 Rⁿ において、j番目の座標が1でその他が0であるベクトルを eⱼ と表します。このとき、 <e₁, …, eₙ> は Rⁿ の標準的な基底となります。

任意の2つの基底 A := <a₁, …, aₙ> と B := <b₁, …, bₙ> を取ったとき、その間の変換行列は正則行列になります。この変換行列の行列式が正の場合、AとBは同値であると定義します。この同値関係によって、基底全体の集合はちょうど2つの同値類に分類されます。

標準的な基底と同値な基底を「右手系」と呼び、同値でない基底を「左手系」と呼びます。つまり、基底が右手系であるか左手系であるかは、標準的な基底との関係によって決定されます。

性質

• - 標準的な基底は右手系です。
• - <a₁, …, aₙ> が右手系であるとき、その中の2つのベクトルの順序を入れ替えたもの、例えば <a₂, a₁, a₃, …, aₙ> は左手系になります。これは、ベクトルの順序の入れ替えが、変換行列の行列式の符号を反転させるためです。
• - より一般的に、n次対称群の元 σ に対し、<aσ(1), …, aσ(n)> が右手系であることと、σの符号が+1であることは同値です。つまり、基底の並び替えによって、右手系と左手系が入れ替わるかどうかは、並び替えの符号によって決定されます。
• - 基底 A = <a₁, …, aₙ> に対し、n次正方行列 (a₁, …, aₙ) の行列式が正ならば A は右手系であり、負ならば左手系です。これは、行列式が基底の向きを決定する指標となるためです。

一般のベクトル空間

VをR上のn次元ベクトル空間とします。Rⁿの場合と同様に、Vの基底全体の集合も、2つの同値類に分類されます。ただし、どちらの元を右手系と呼び、どちらの元を左手系と呼ぶかは自然には定まりません。

同型写像 φ: Rⁿ → V を一つ定めた場合、<φ(e₁), …, φ(eₙ)> と同値である基底を右手系と呼ぶことができます。つまり、ベクトル空間における右手系・左手系の概念は、基準となる写像を定めることで定義されるのです。

測量・測地学における左手系

測量、航海術、地理学、測地学などの分野では、左手系の使用が標準的です。これらの分野では、北を基準とした座標系（北基準式）が用いられ、x軸が北方向（緯度の正方向）、y軸が東方向となります。

これは、これらの分野で用いられる地図や図面において、座標系が左手系である方が都合が良いためです。特に、平面直角座標系は左手系で表されることが一般的です。

まとめ

右手系は、線形代数学において標準的な座標系の一つであり、右手の法則に従うように軸の向きが定義されます。一方、測量分野などでは左手系が用いられることもあり、分野によって座標系の使い分けが必要です。

右手系と左手系の概念は、単に軸の向きを定めるだけでなく、基底の順序や変換行列といったより深い数学的な構造と関連しています。これらの概念を理解することで、座標系をより深く理解することができるでしょう。

関連項目

• - 向き
• - キラリティー
• - クロス積

参考文献

• - 『数学入門辞典』岩波書店、2005年、ISBN 978-4000802093
• - 齋藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会、1995年、ISBN 978-4130620017

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