直積 (ベクトル)

ベクトルの外積：定義と性質

線形代数学において、ベクトルの外積（または直積）は、二つのベクトルから行列を生成する重要な演算です。内積がベクトル同士からスカラー値を計算するのに対し、外積はベクトルから行列を生成します。本稿では、外積の定義、性質、そして様々な応用について解説します。

外積の定義

二つのベクトル u と v の外積 u ⊗ v は、以下の式で定義されます。

u ⊗ v = u v^T

ここで、u は m × 1 の列ベクトル、v は n × 1 の列ベクトルであり、v^T は v の転置（1 × n の行ベクトル）を表します。結果として得られる行列は m × n の次元を持ちます。

例えば、u = (u₁, u₂, u₃)^T と v = (v₁, v₂)^T の外積は次のようになります。


[u1v1, u1v2]
[u2v1, u2v2]
[u3v1, u3v2]


各成分は、u の各成分と v の各成分の積で表されます。複素ベクトルの場合は、v の転置の代わりに共役転置 v を用います。

外積と内積の比較

内積は、同じ次元の二つのベクトルからスカラー値を計算する演算です。外積とは対照的に、内積の結果は単一の値となります。内積は、ベクトルの類似度や射影の長さを計算する際に用いられます。

外積と内積は、ベクトル解析において重要な役割を果たし、互いに補完的な関係にあります。外積は行列を生成することで、より高次元の情報を表現できます。一方、内積はベクトル間の関係をスカラー値で簡潔に表現できます。

行列としての性質

外積で生成される行列は、いくつかの重要な性質を持ちます。

階数: u と v が両方とも零ベクトルでない場合、外積行列 u v^T の階数は常に 1 です。これは、行列の列ベクトル（または行ベクトル）がすべて u の定数倍で表せるためです。
固有値: 外積行列の固有値は、ベクトル u と v の内積 ⟨u, v⟩ と 0 です。0 以外の固有値は1つだけです。

テンソルへの拡張

外積の概念は、ベクトルだけでなく、高階のテンソルにも拡張できます。二つのテンソル a と b の外積はテンソル積と呼ばれ、その成分は各テンソルの対応する成分の積として定義されます。

例えば、三階のテンソル a と二階のテンソル b の外積 c = a ⊗ b の成分は、c_ijkℓ = a_ijb_kℓ となります。

外積の応用

外積は、様々な分野で応用されています。

物理学: 慣性テンソル、応力テンソルなどの物理量の計算に利用されます。
画像処理: 画像の変換やフィルタリング、特徴量の抽出などに用いられます。
機械学習: 行列分解、多次元データの表現などに用いられます。
* 統計学: 共分散行列の計算などに利用されます。

まとめ

本稿では、ベクトルの外積について、その定義、性質、そして様々な応用について解説しました。外積は、線形代数学における基本的な演算であり、多くの分野で重要な役割を果たしています。特に、ベクトルやテンソルの情報を高次元の行列で表現する際に有効なツールです。外積を理解することは、線形代数学の深い理解につながり、様々な応用分野への展開を可能にします。

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