相似則

力学における相似則

力学分野で用いられる相似則（そうじそく、または相似律）とは、大きさが異なる複数の物理システムにおいて、ある特定の物理量間の比率が、系のサイズによらず一定の値をとるという考え方です。もし現象の基盤となる方程式が線形の関係であれば、原因となる入力と結果としての出力は比例し、その比は常に一定に保たれます。この法則は、物理現象の理解を深めるだけでなく、工学的な設計や実験を行う上で非常に強力なツールとなります。

模型実験と相似則

大規模な構造物や高速で移動する物体など、実物（実機）を用いた実験は、しばしば多大なコストや手間、そして危険を伴います。こうした課題を回避するために、実機よりも小さく製造された模型を使った実験が行われます。模型実験によって実機で起こる物理現象を正確に再現するためには、実機と模型の間で物理現象が共通の支配方程式に従うことが不可欠です。これを実現するために必要となるのが、相似則に基づいた特定の「相似条件」を満たすことです。

相似条件

物理現象を模型で再現するために満たすべき主要な相似条件は以下の三つです。

1. 幾何学的相似: 実機と模型の対応する全ての寸法の比率が等しい状態です。形状そのものが拡大縮小された関係にあることを指します。
2. 運動学的相似: 実機と模型の対応する点における速度の比率が、空間的にも時間的にも常に等しい状態です。例えば、流体の流れにおいては、実機と模型で流線（流れの筋）の形が幾何学的に相似であることを意味します。
3. 力学的相似: 幾何学的相似および運動学的相似が成り立っている上で、さらに実機と模型の対応する点に作用する力、例えば慣性力や粘性力などの比率が等しい状態です。現象の完全な再現には、この力学的相似の成立が最も重要となります。

流体力学における主な相似則

特に流体力学の分野では、力学的相似を成立させるための条件として、いくつかの重要な相似則が導かれています。これは、物体周りの流体の運動において、力のはたらき方が実機と模型で相似となる条件を示します。

ニュートンの相似則: もし流体の運動が慣性力によってのみ支配されると仮定できる場合（例えば、重力や粘性の影響が無視できる場合）、物体にかかる力は、代表速度の2乗と代表長さの2乗、そして流体密度の積に比例します。この関係から導かれる抵抗係数（力とρU²L²の比）が一定となる条件をニュートンの相似則と呼びます。粘性や重力が無視できる理想的な状況下では、相似な物体であれば抵抗係数は同じ値をとります。

レイノルズの相似則: 流体の粘性の影響が重要となる場合、実機と模型で力のはたらき方が相似になるためには、慣性力と粘性力の比が一定である必要があります。この比はレイノルズ数（Reynolds number, Re）という無次元量で表されます。したがって、幾何学的相似な物体周りの流れにおいて、レイノルズ数が等しければ、粘性力の影響を含む力のはたらき方が相似になり、抵抗係数も等しくなります。航空機や自動車周りの流れなど、粘性が支配的な多くの現象で不可欠な相似則です。

フルードの相似則: 重力の影響が無視できない場合（例えば、水面に波が発生する現象など）、実機と模型で現象が相似になるためには、慣性力と重力の比が一定である必要があります。この比はフルード数（Froude number, Fr）という無次元量で表されます。フルード数が等しければ、重力に関連する力のはたらき方が相似になり、波の発生や伝播なども相似に再現されます。船舶の抵抗実験などで重要な役割を果たします。

圧縮性流体の相似則: 流体の圧縮性が重要になる場合、すなわち流体密度が変化するような高速の流れにおいては、マッハ数（Mach number, M）という無次元量が現象の相似性を決定する上で鍵となります。流体の密度変化は、おおよそマッハ数の2乗に比例することが知られています。

* プラントル・グラワートの相似則: 特に亜音速域における圧縮流の効果を扱う際に用いられる相似則です。翼などの物体周りの圧縮性流れにおける圧力係数は、物体の形状を特定の比率で変形させた非圧縮性流れの圧力係数から計算できるという関係を示します。これは、マッハ数が低い亜音速域での圧縮性効果を予測するために利用されます。特定の条件下ではゴサートの相似則とも呼ばれます。

複数の力が作用する場合と相似則の緩和

実際の物理現象では、慣性力だけでなく、粘性力や重力、圧縮性など、複数の力が同時に作用することがほとんどです。このような場合、力学的相似を成立させるためには、関連する複数の無次元量（例：レイノルズ数Re、フルード数Fr、マッハ数Mなど）を実機と模型で同時に一致させる必要があります。例えば、水面上を高速で移動する船舶の抵抗を模型実験で調べる場合、粘性力と重力の両方が重要になるため、レイノルズ数とフルード数の両方を一致させる必要があります。

しかしながら、実用的な模型実験では、複数の無次元量を同時に厳密に一致させることが困難な場合が多くあります。例えば、縮小模型を使用すると、フルード数を一致させようとすると速度が遅くなり、結果としてレイノルズ数が大きく異なってしまうといった問題が発生します。このような場合、現象に二次的な影響しか与えないと考えられる物理法則を考慮から除外したり、現象を複数の部分に分割してそれぞれの部分で相似則を適用したりするなど、相似条件の一部を緩和することが行われます。これを「相似則の緩和」と呼びます。例えば、風洞を用いた航空機模型の実験において、本来は実機とレイノルズ数を一致させるべきですが、流れが十分に発達した乱流域であれば、レイノルズ数が多少異なっても抵抗値に大きな変化が見られないため、レイノルズ数の厳密な一致を緩和することがあります。

まとめ

相似則は、物理現象を理解し、工学的な問題解決に役立てるための基本的な原理です。特に模型実験においては、実機での現象を効率的かつ安全に予測するための不可欠な手法を提供します。幾何学的、運動学的、力学的相似の概念に基づき、レイノルズ数やフルード数などの無次元量を用いることで、異なるスケール間での物理量の関係性を明らかにし、設計や性能評価に活かされています。実用上の制約から相似則の緩和が行われることもありますが、それでもなお、相似則は広範な分野で物理現象の本質を捉える強力なツールであり続けています。

もう一度検索