無次元量

無次元量：単位なき普遍性

無次元量とは、長さや質量といった物理的な次元を持たない量です。言い換えれば、どんな単位系を使ってもその数値が変わらない、普遍的な量と言えるでしょう。無次元数は、無次元量を数値として表現したものであり、無名数と呼ばれることもあります。単位に依存しないため、様々な分野で物理現象を記述する際に重要な役割を果たしています。例えば、科学、工学、経済学など、幅広い分野で無次元量が用いられています。

無次元量の性質と利用

無次元量は、単位の選択に影響を受けないため、異なる単位系を用いた場合でもその値が変わりません。この性質から、無次元量は普遍的な物理法則や現象を記述するのに適しています。数値実験や理論構築においては、操作可能な変数として扱われることもあります。現実世界では物質固有の値である場合もありますが、その普遍性から、現象を特徴づけるパラメータとして広く用いられています。

無次元量の起源と発展

無次元量は、科学の歴史の中で段階的に理解が深まってきました。[1]]9世紀には、フーリエやマクスウェルといった著名な科学者たちが、次元と単位の概念を発展させる過程で、無次元量の重要性に気づき始めました。レイノルズやレイリー卿といった物理学者たちの研究は、特に物理学における無次元数の理解を深めることに大きく貢献しました。バッキンガムのπ定理は、無次元量の性質を体系的に解明した重要な成果であり、現代の次元解析の基礎となっています。流体力学や熱力学といった分野では、20世紀初頭から多くの無次元数が開発され、現在もなお、新しい無次元量が考案され続けています。デシベル]のような組立[[単位も、比率を計測する上で広く利用されています。

無次元量の例：比率と計量

無次元量は、多くの場合、同じ種類の2つの量の比として定義されます。例えば、傾きは水平距離に対する垂直距離の比、ひずみは変形前の長さに対する長さの変化の比といった具合です。濃度（質量濃度、体積濃度、モル分率など）も無次元量です。アルコール度数はアルコール飲料全体の体積に対するエタノール体積の比として定義されます。

これらの無次元量の組立単位は、本質的には「1」です。しかし、数値を扱いやすくするため、百分率（%）、千分率（‰）、ppm、ppb、pptなどの表現も用いられます。また、比の対象となる量の単位を明示的に示すために、kg/kg、mol/molといった単位を用いることもあります。角度の単位（ラジアン、度など）も無次元量です。統計学における変動係数も、平均値に対する標準偏差の比として定義される無次元量です。

長さの比（アスペクト比）、質量の比（比重、原子量）、周波数の比（Q値）、入力と出力の比（利得）、入射光と反射光の比（アルベド）なども無次元量です。国際単位系(SI)では、計数量（個数など）は無次元量として扱われますが、長さや質量のような基本量から組み立てられる量ではない点で、他の無次元量とは異なります。

数学定数と無次元数

数学定数である1、虚数単位i、円周率π、ネイピア数eなども、全て次元が1の無次元量です。

無次元数の具体例

無次元数は分野や理論ごとに多様な種類が存在します。現象を記述する理論ごとに無次元数を見つけ出すことができ、その作り方にも自由度があるためです。以下では代表的な無次元数を紹介します。

統計:

偏差値: ある数値が母集団の中でどの程度の位置にいるかを表す指標

力学:

反発係数: 衝突前後の速度の比

流体力学:

レイノルズ数: 代表長さ、代表速度、動粘性係数から求められ、流れ場の状態（運動量輸送における移流と拡散の比）を表す。

熱輸送:

ヌセルト数: 熱伝達と熱伝導の比
プラントル数: 熱輸送と運動量輸送の比
ルイス数: 熱輸送と物質移動の比
ビオ数: 熱伝達と固体側の熱伝導の比

浮力、重力:

比重: ある物質の密度と基準物質の密度の比
グラスホフ数: 流れ場における浮力の相対的な影響
フルード数: 流速と長波の伝播速度の比
レイリー数: 流体層の温度勾配を無次元化した量

その他:

マッハ数: 流体の運動エネルギーと内部エネルギーの比の平方根
クヌーセン数: 代表長さ と分子の平均自由行程の比
ロスビー数: 回転系における流体の流速と系の角速度の比
エクマン数: 回転系の粘性の大きさ

材料工学:

ゾンマーフェルト数: 潤滑の状態
ポアソン比: ひずみの比

電磁気学:

比誘電率
比透磁率
電気感受率
磁化率

素粒子物理学:

微細構造定数

光学:

屈折率
アッベ数
振動子強度

通信工学:

アーラン: 通信トラヒック量の尺度
SN比: 信号量と雑音量の比

化学:

八田数: ガス吸収操作に関する無次元数
チーレ数: 触媒粒子内における反応速度と拡散速度の比

物質輸送:

シャーウッド数: 物質移動と拡散の比
シュミット数: 物質移動と運動量輸送の比

気象学:

比湿

単位の記述

無次元[数]]には基本的に単位を付与しませんが、デシベル]やネーパのように、対[数]]を用いて定義される量には特別な単位が用いられる場合があります。デシベルは基準量との比の常用対数]、ネーパは基準量との比の自然対[数]で表されます。

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