相関関数

相関関数とは

相関関数は、物理学のさまざまな分野で重要な役割を果たす概念であり、2つの物理量間の相互作用や依存関係を示すものです。一般に、物理量A(x)とB(x)を異なる空間や時間の値に基づいて考慮し、これらの物理量の間に存在する関連性を分析します。特に、物理量が何らかのゆらぎを持つ場合に、その相互作用を測定するために相関関数を用います。相関関数は以下のように定義されます。

$$
G(x,y) = iggra A(x)B(y)iggrac{ ext{合性}}{平均値}
$$

この式は、位置xでの物理量Aと位置yでの物理量Bがどのように影響し合っているかを示しています。また、AとBが同じ物理量である場合には、これを自己相関関数（autocorrelation function）と呼びます。

時間相関関数

相関関数が時間に関連する場合、これを時間相関関数といいます。ここでも、物理量Aにゆらぎが存在すると仮定し、異なる時刻tとt′におけるAの測定値の平均をとります。この場合の相関関数は次のように表されます。

$$
G(t) = iggra A(t)A(t′)iggrac{ ext{合性}}{平均値}
$$

平衡状態において、系は定常であるため、この相関関数は時間差t-t′のみに依存します。

また、G(0)の値は必ず正であり、以下のように表されます。

$$
G(0) = iggra A^2iggrac{ ext{合性}}{平均値}
$$

物理系が時間が経過するにつれて、A(t)はA(0)とは無関係になるため、相関関数は次第にその平均値に近づいていきます。

$$
ext{lim}_{t o ext{∞}} iggra A(t)A(0)iggrac{ ext{合性}}{平均値} = iggra A(t)iggrac{ ext{合性}}{平均値} iggra A(0)iggrac{ ext{合性}}{平均値} = 0
$$

この結果から、時間相関関数は時間が無限大に近づくにつれゼロに近づくことがわかります。時間相関関数は不可逆過程の統計力学で非常に重要であり、特に輸送係数などの物理特性が平衡状態における時間相関関数の時間積分で表されることが知られています。

また、時間相関関数は実験的にも確認されることがあり、これは放射線や粒子線の非弾性散乱、磁気共鳴などの振動数スペクトルから得られるデータによって実証されます。

参考文献

• - 土井正男『統計力学』朝倉書店、2006年4月。
• - 物理学辞典編集委員会『物理学辞典 三訂版』培風館、2005年9月。

関連項目

• - 自己相関
• - 相関係数
• - 相互情報量
• - カノニカル相関
• - ゆらぎ
• - 線形応答理論

相関関数は、物理学における多くの現象を理解するうえで不可欠なツールであり、量子力学や統計力学の基礎理論に深く関わっています。

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