真空解 (一般相対性理論)

真空解とは

一般相対性理論における真空解は、アインシュタインテンソルが常にゼロである領域を指します。これに従うとエネルギー・運動量テンソルもゼロとなり、物質や重力以外の場が存在しないことが示されます。したがって、真空解は物質が一切存在しない環境を意味します。通常、ローレンツ多様体におけるアインシュタインテンソルがゼロになる領域は「真空領域」とも呼ばれます。

同値条件

アインシュタインテンソルがゼロであることはリッチテンソルがゼロであることと等価です。これは、これら二つのテンソルがトレース反転という関係にあるためです。この数学的関係から、アインシュタインテンソル

$$ G_{ab} = R_{ab} - \frac{R}{2} g_{ab} $$

およびリッチテンソル

$$ R_{ab} = G_{ab} - \frac{G}{2} g_{ab} $$

が互いに密接に関連していることが理解できます。また、リーマン曲率テンソルはワイル曲率テンソルとリッチテンソルを組み合わせたものであるため、その領域が真空であることもまた同値です。つまり、リーマン曲率テンソルとワイル曲率テンソルが一致することが、真空の条件とすることができます。

重力場のエネルギー

真空領域においては、エネルギー・運動量テンソルがゼロであるため、一般相対性理論では真空がエネルギーを持たないと考えられます。しかし、重力場は実際にエネルギーを持つものであり、このことは非常に興味深い問題を提起します。エネルギーの所在を特定することは、重力相互作用と他の相互作用を分離するという性質のために技術的に困難ですが、重力場のエネルギーが自身の重力場を生むということは、一般相対性理論の非線形性を理解する鍵となります。このため、例えば太陽の周囲の重力場がニュートンの予測以上に強くなるという現象も説明できます。

明示的な真空解の例

以下に、特に著名な真空解の例を挙げます：

1. ミンコフスキー時空 - 宇宙定数がゼロの場合の単純な空間を表す。
2. ミルンモデル - E. A. Milneによって開発された、曲率のない空っぽの宇宙。
3. シュワルツシルト真空 - 球対称な質量を持つ天体の周りの時空。
4. カー解 - 回転する物体の周囲を記述する時空。
5. Taub-NUT真空 - 孤立した物体の外部重力場が特異な性質を持つ事例。
6. Kerns–Wild真空 - より均一な重力場環境におけるシュワルツシルト物体。
7. ダブルカー真空 - 同一の回転軸を持つ二つのカー物体が特定の状況を保っている場合の記述。
8. カーン・ペンローズ真空 - 簡単な衝突平面波モデル。
9. オスヴァス・シュッキング真空 - 円形に偏極した正弦重力波を含む反例。
10. カスナー計量 - 他の多くの解分類に含まれる。

これらはさらに広範な解のグループにも属します。重力の研究を進める上で、これら真空解及びその関連の構造は不可欠です。さらに、真空pp波時空なども関連研究において重要な位置を占めています。

関連項目

• - 真空解: 物理全般における真空解の解説。
• - ラムダ真空解: 相対性理論における真空解の一般化。
• - 一般相対性理論における厳密解: アインシュタイン方程式の厳密な解全般。

これらの内容を理解することで、一般相対性理論の理解が一段と深まるでしょう。

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