アインシュタインテンソル

アインシュタインテンソル

アインシュタインテンソルは、微分幾何学において擬リーマン多様体の曲率を表現するために使用される重要なランク2のテンソルです。物理学者アルベルト・アインシュタインにちなんで名付けられ、逆トレースリッチテンソルとしても知られています。このテンソルは一般相対論にもおいて基本的な役割を持ち、エネルギーと運動量の保存則に基づいて時空の曲率を通して重力を記述するアインシュタイン方程式に現れます。

アインシュタインテンソルの定義

アインシュタインテンソルは次のように定義されます：

$$G = R - \frac{1}{2} g R$$

ここで、$R$はリッチテンソル、$g$は計量テンソル、そして$R$はスカラー曲率を示します。この式は、各成分において表現すると次のようになります：

$$G_{\mu

u} = R_{\mu

u} - \frac{1}{2} g_{\mu

u} R.$$

アインシュタインテンソルは、ストレス・エネルギーテンソルと同じ対称性を持ち、すなわち、$G_{\mu
u} = G_{
u \mu}$のように対称であり、また共変的に発散しない性質も持っています。

明示的な表現

リッチテンソルは計量テンソルによって得られるため、アインシュタインテンソルも計量テンソルから直接定義可能ですが、実際にはこの表現は複雑さを伴います。具体的には、クリストッフェル記号を利用して次のように書くことが可能です：

$$G_{\alpha \beta} = R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} R$$

ここで、クロネッカーのデルタやクリストッフェル記号を用いて、詳細な形に展開することができます。このような表現は、局所慣性座標系においてさらに簡略化され、アインシュタインテンソルの計算が容易になる場合もあります。

トレースとその意味

アインシュタインテンソルのトレースは、計量テンソルを用いて次のように計算されます：

$$g^{\mu
u} G_{\mu
u} = R - \frac{n}{2} R$$

ここで、$n$は次元を示しており、特に4次元の場合、アインシュタインテンソルのトレースはリッチテンソルのトレースとして理解され、「逆トレースリッチテンソル」としても知られます。

一般相対論におけるアインシュタインテンソルの位置づけ

アインシュタインテンソルは、一般相対論のアインシュタイン方程式において、次のように表現されます：

$$G_{\mu
u} = \frac{8\pi G}{c^{4}} T_{\mu
u}$$

ここで、$T_{\mu
u}$はエネルギー・運動量テンソルを表しています。幾何単位系においては次のように簡略化されます：

$$G_{\mu
u} = 8\pi T_{\mu
u}$$

このように、アインシュタインテンソルは計量テンソルの非線形関数である一方、計量の二階偏微分に対しては線形性を示します。4次元空間においては、アインシュタインテンソルは10個の独立した成分を持ち、準線型の2階偏微分方程式を形成します。

ビアンキ恒等式と保存則

ビアンキ恒等式は、アインシュタインテンソルに関して次のように表されます：

$$
abla_{\mu} G^{\mu
u} = 0.
$$

この恒等式により、曲がった時空内におけるエネルギー・運動量テンソルの共変性が保存されることが保証されます。アインシュタインテンソルの物理的意義は、ストレス・エネルギーテンソルの保存則を呼び起こすところにあり、物理学において非常に重要です。

結論

アインシュタインテンソルは、一般相対論の核心に位置し、時空の曲率を介して重力の本質を表す重要な数学的構造を提供します。これにより、宇宙の力学や構造の理解が深まっています。

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