移流拡散方程式

移流拡散方程式について

移流拡散方程式は、物理学や工学において流体の運動や物質移動を解析する際に必要な数学的モデルの一つです。この方程式は、物質がある速度で移動しながら同時に拡散する様子を二次元で表現する二階線型偏微分方程式です。具体的には、時間と空間の関数である物理量 ϕ(t, x) が、一定の速度 c と拡散係数 D によって動く状況を記述します。

数学的な定義

移流拡散方程式は以下の形で表されます：

$$
\frac{∂ϕ}{∂t} + ∇⋅(c ϕ) = ∇⋅(D ∇ϕ)
$$

ここで、左辺は物質の時間変化と流れの効果を示し、右辺は拡散の効果を示しています。この方程式は、流れと拡散の両方を統合的に考えるためのもので、広範な応用があります。

解析解の導出

次に、1次元の移流拡散方程式について詳細に見ていきましょう。ここでは、係数 c と D が定数であり、以下の方程式が与えられます：

$$
\frac{∂ϕ}{∂t} + c \frac{∂ϕ}{∂x} = D \frac{∂^2ϕ}{∂x^2}
$$

この方程式に対し、ラプラス変換を使用すると解析解を得ることができます。境界条件として単位ステップ関数を仮定し、初期条件では以下が与えられます：

• - $ϕ(0, x) = 0 \, (x ≥ 0)$
• - $ϕ(t, 0) = U_0(t) = \{0 \,(t<0) \ ,1 \, (t ≥ 0)\}$

これにより、求まる解は次のようになります：

$$
ϕ(t, x) = \frac{1}{2} \exp \left( \frac{c}{2D} x \right) \left[ \exp \left( -\frac{c}{2D} x \right) \operatorname{erfc} \left( \frac{1}{2\sqrt{Dt}} (x - ct) \right) + \exp \left( \frac{c}{2D} x \right) \operatorname{erfc} \left( \frac{1}{2\sqrt{Dt}} (x + ct) \right) \right]
$$

ここで、erfc(z) は相補誤差関数を表しています。

定常解の導出

移流拡散方程式を定常状態に置くことで、より単純な解析解を得ることができます。この場合方程式は次の形になります：

$$
c \frac{dϕ}{dx} = D \frac{d^2ϕ}{dx^2}
$$

ここで、x は区間 [0, L] 内の値を取ります。境界条件は、$ϕ(0) = ϕ_0,$ と $ϕ(L) = ϕ_L$ とします。解析解は以下のようになります：

$$
ϕ(x) = ϕ_0 + \frac{\exp(Pe \cdot x / L) - 1}{\exp(Pe) - 1} (ϕ_L - ϕ_0)
$$

この際のペクレ数 $Pe$ は、移流と拡散の比を示す無次元量であり、$Pe := \frac{cL}{D}$ で定義されます。定常状態での解は、計算流体力学（CFD）の文脈でも有用で、さまざまなシナリオの評価に役立ちます。

参考文献と関連項目

移流拡散方程式に関連する方程式として、ナビエ-ストークス方程式やバーガース方程式が存在し、それぞれ流体の運動に関わる異なる問題を扱っています。

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