空格子近似

空格子近似：電子バンド構造の基礎

空格子近似は、結晶中の電子の挙動を理解する上で重要なモデルです。このモデルでは、結晶格子の周期的なポテンシャルを弱いと仮定し、電子を相互作用しない自由電子として扱います。これは、実際の結晶では電子間に相互作用が存在するものの、その効果を無視することで計算を簡略化し、電子バンド構造の主要な特徴を明らかにすることを可能にする近似です。

ポテンシャルの周期性と散乱

空格子近似において、結晶格子のポテンシャルは周期性を持っています。この周期ポテンシャルは、電子の波動関数の散乱を引き起こします。散乱の強さは、系の形状やトポロジー、ポテンシャルの大きさ、ポテンシャル井戸の大きさに依存します。1次元、2次元、3次元空間において、ポテンシャル井戸は常に波動を散乱させます。

1次元格子の場合、クローニッヒ・ペニーモデルのように、ポテンシャル、格子間隔、ポテンシャル井戸の大きさを具体的に与えることで、バンド構造を解析的に計算できます。しかし、2次元や3次元の場合、正確なバンド構造の計算はより困難になります。それでも、摂動法を用いることで、多くの場合、バンド構造の特性を良好に近似できます。

理論的には、無限に大きな格子では、弱い周期的な散乱ポテンシャルであっても、最終的には波動を反射するのに十分な強さに達します。この散乱過程は、結晶構造の周期的なポテンシャルによる電子のブラッグ反射を引き起こし、エネルギー分散関係とブリルアンゾーンにおけるk空間の周期性を生み出します。

エネルギー分散関係

周期的なエネルギー分散関係は、以下の式で表されます。

`Eₙ(k) = ħ²(k + Gₙ)² / 2m`

ここで、`Eₙ(k)`はエネルギー、`ħ`は換算プランク定数、`k`は波数ベクトル、`m`は電子の質量、`Gₙ`は`Eₙ(k)`に対応する逆格子ベクトルです。

エネルギーバンドと状態密度

1次元格子では、エネルギーバンドを決定する逆格子ベクトル`Gₙ`の数はエネルギーの上昇とともに2に制限されます。しかし、2次元や3次元格子では、自由電子バンド`Eₙ(k)`を決定する逆格子ベクトルの数は、波数ベクトルの大きさやエネルギーの増加に伴い急激に増加します。

エネルギー間隔`[E, E + dE]`における状態密度は、`[k, k + dk]`における状態数と分散関係`Eₙ(k)`の勾配によって決まります。

3次元格子の場合、状態密度は格子がない場合と同じとなり、状態密度`D₃(E)`は以下のように表されます。

`D₃(E) = 2π√((E - E₀)/cₖ³)`

ここで、`E₀`はエネルギーの基準値、`cₖ`は定数です。3次元空間におけるブリルアンゾーンの境界は平面であり、分散関係は複雑な交差の組み合わせを示します。

高次ブリルアンゾーン

第1ブリルアンゾーンの外側を伝播する電子は、第1ブリルアンゾーンに反射されます。

ほとんど自由な電子のモデル

アルミニウムのような単純金属では、スクリーニング効果によりイオンの電界が減衰し、静電ポテンシャルは以下のように表されます。

`V(r) = (Ze/r)e⁻qr`

ここで、`Z`は原子番号、`e`は電荷、`r`はイオン核からの距離、`q`はスクリーニングパラメータです。格子ポテンシャルのフーリエ変換`U_G`は、`U_G`の値がほぼ0となるとき、以下のように表されます。

`U_G = 4πZe/(q² + G²)`

この結果、バンドギャップが小さくなり、空格子近似が成り立ちます。

一般的な金属結晶

一般的な[金属]]結晶は、体心立方格子(BCC)、面心立方格子(FCC)、六方最密充填構造]のいずれかの[[結晶構造をとります。

空格子近似は、複雑な電子バンド構造を理解するための重要な出発点であり、より高度な理論の基礎となります。

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