自由電子

自由電子モデル：金属の性質を解き明かす鍵

自由電子とは、原子核などの束縛から解き放たれた電子のことです。実際には、全ての電子が何らかの形で束縛されていますが、金属中の伝導[[電子]]のように、比較的自由に動ける電子を近似的に自由電子とみなすことで、金属の性質をシンプルに理解するためのモデルが構築できます。このモデルを自由電子モデルと呼び、現実の電子系を自由電子と仮定する近似を自由電子近似といいます。

自由電子のエネルギーと波動関数

自由電子のポテンシャルエネルギーは0とみなせるため、そのエネルギー固有値と固有状態（波動関数）は容易に計算できます。シュレーディンガー方程式を解くことで、エネルギーは波数ベクトルの二乗に比例することがわかります。この関係を表すグラフをE-k曲線（分散関係）と呼び、自由電子の場合は放物線になります。また、波動関数は平面波で表されます。この平面波は、固体物理学における様々な近似計算（ほとんど自由な電子模型や強結合近似など）の基礎となっています。

時間依存シュレーディンガー方程式を解くと、時間とともに変化する波動関数が得られます。この波動関数は、空間部分と時間部分に分離でき、時間部分は電子のエネルギーに依存した角周波数で振動します。

電子気体と誘電関数

金属を、原子核の格子と、その中に浸透した自由電子の集合体（電子気体）として考えることができます。外部から電磁波が金属に入射すると、電子気体は電場によって揺り動かされます。この揺らぎによって金属は分極し、表面に電荷が蓄積されます。この現象を記述する物理量に誘電関数があります。

誘電関数は、電場の周波数に依存します。特に、プラズマ周波数と呼ばれる特定の周波数では、誘電関数の実部が0になり、電磁波が金属中を伝播できなくなります。プラズマ周波数は、電子密度、電子の質量、真空の誘電率によって決まります。プラズマ周波数以下の電磁波は金属表面で全反射され、プラズマ周波数以上の電磁波は金属内部を透過します。

フェルミエネルギーとフェルミ面

電子はフェルミ粒子であるため、同じ量子状態には複数の電子は存在できません（パウリの排他律）。絶対零度において、電子は可能な限り低いエネルギー準位を占めます。このとき、電子が占める最も高いエネルギー準位をフェルミエネルギーと呼びます。フェルミエネルギーに対応する波数ベクトルをフェルミ波数、運動量をフェルミ運動量と呼びます。

3次元系では、フェルミエネルギーを持つ電子の波数ベクトルは、波数空間においてフェルミ面と呼ばれる面を形成します。自由電子の場合、フェルミ面は球形になります。フェルミエネルギー、フェルミ波数、フェルミ面は、金属の様々な性質を理解する上で非常に重要です。

状態密度と全エネルギー

状態密度は、単位エネルギーあたりの状態の数です。自由電子系の状態密度は、エネルギーの関数として計算できます。一次元、二次元、三次元の場合で、それぞれ異なるエネルギー依存性を持つことがわかります。

自由電子系全体のエネルギーは、フェルミエネルギーまでの状態密度とエネルギーを積分することで計算でき、全エネルギーはフェルミエネルギーと粒子数の積に比例します。これにより、平均エネルギーを求めることもできます。

弾性率と圧縮率

自由電子モデルを用いると、金属の体積弾性率と圧縮率を計算できます。体積弾性率は、体積変化に対する圧力の変化を表す量で、圧縮率はその逆数です。これらはフェルミエネルギーと電子密度に依存し、物質の硬さや圧縮しやすさを反映します。

低温現象

絶対零度近傍の低温では、自由電子はフェルミ縮退と呼ばれる状態になります。これは、低温では電子が全て低いエネルギー準位を占め、フェルミエネルギー付近に多くの電子が集中する状態です。このフェルミ縮退は、金属の低温での熱伝導や電気伝導などの性質に影響を与えます。

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