符号 (数学)

符号（ふごう）

数学における符号は、主に実数が持つ基本的な属性の一つであり、その数が正であるか、あるいは負であるかを示します。非零の実数は必ず正か負のいずれかです。通常、数ゼロは正でも負でもなく、したがって符号を持たないと見なされます。しかし、文脈によってはゼロに符号が付与される（符号付き零）場合や、「ゼロの符号はゼロである」と定義することが有効な状況も存在します。

この「符号」の概念は、実数の性質にとどまらず、数学や物理学における多様な対象に対しても適用されます。例えば、量の増減や変化の方向、幾何学的な向き、計算機内部での数値表現、さらには置換の偶奇性など、二項対立する性質を区別するために広く用いられます。

数の符号

実数は、その値（大きさとは異なります）がゼロより大きいか小さいかによって、正または負に分類されます。この属性が数の符号です。

数の記法では、符号は数詞の前に置かれる記号（+または−）で示されます。例えば、`+3`は「正の3」、`−3`は「負の3」です。特に符号が付されていない場合は、通常、その数は正であると解釈されます。

代数学においては、負号 `−` は加法逆元を取る操作、すなわち「符号反転」を表すものとしても機能します。正の数の加法逆元は負の数、負の数の加法逆元は正の数です。この意味で、`−(−3) = +3`のような表現が成り立ちます。

任意の非零実数は、絶対値を用いることで非負（ゼロまたは正）に変換できます。数の絶対値は、その数の符号を取り除いた値であり、`|−3| = 3`、`|3| = 3`のように表記されます。

ゼロの符号

慣習的に、数ゼロは正でも負でもなく、符号を持たないとされます。算術計算においては、`+0`も`−0`も区別なくゼロとして扱われます（ゼロの加法逆元はゼロ自身です）。

しかし、文化や特定の技術的な文脈では、この扱いは異なります。例えば、一部の文化ではゼロを正でも負でもあると定義し、「真に正」（ゼロを含まない正）などと区別することもあります。

計算機における符号付き数値表現では、符号付き零（正の零と負の零）が区別される場合があります。また、微分積分学において片側極限を評価する際、`+0`や`−0`という記法が用いられることがあります。これは、変数が正または負の値を取りながらゼロに限りなく近づく状況を示しており、関数の振る舞いが異なる可能性がある場合に重要となります。

用語法

ゼロを符号なしとする一般的な規約の下では、実数の符号に関する用語法は以下のようになります：

正: ゼロより大きい数。
負: ゼロより小さい数。
非負: ゼロ以上の数（正またはゼロ）。
非正: ゼロ以下の数（負またはゼロ）。

これらの用語は、実数値を取る関数に対しても同様に用いられます。例えば、「非負関数」とは、その取る値が全て非負である関数を指します。

符号関数

数の符号を数値として表現するために、符号関数（sign function, `sgn(x)`または`sign(x)`）が定義されます。これは通常、以下のように定義されます。


sgn(x) = {
-1 (if x < 0)
0 (if x = 0)
1 (if x > 0)
}


すなわち、xが正ならばsgn(x)は1、負ならば−1、ゼロならば0となります。xがゼロでない場合、符号関数は`sgn(x) = x / |x| = |x| / x`としても表現できます。

符号の多様な意味

実数の正負以外にも、数学や自然科学の様々な分野で「符号」という言葉が用いられます。

角の符号: 幾何学において、角度や回転の向きを示すために符号が使われます。例えば、平面上の回転では反時計回りを正、時計回りを負とすることが一般的です。
変化の符号: 量がある状態から別の状態へ変化した際の差分（変化量）は、増加なら正、減少なら負として符号が与えられます。`Δx = x_{最終} − x_{最初}`のように定義されます。
向きの符号: 解析幾何学や物理学では、座標軸などの特定の方向を正または負と定めます。数直線では右向きを正、左向きを負とし、デカルト座標系では右向きと上向きをそれぞれx軸、y軸の正の方向とします。

計算機における符号

計算機で数値を扱う際、整数型には符号付き(signed)と符号なし(unsigned)があります。符号なし整数は非負の値に限定され、符号を表すビットを数値自体に利用できます。符号付き整数は、通常2の補数などの表現方法を用いて符号と値を一体的に扱います。

一方、浮動小数点数では、符号が独立したビットとして表現されることが一般的です。これにより、正の零と負の零が区別されて表現されうる構造を持ちます。

その他の応用

符号を除いて: ある量 `q` が、特定の `Q` に対して `q = Q` または `q = −Q` となる場合（`q = ±Q`と表記）に用いられる表現です。実数の場合、これは絶対値`|q|`のみが既知であることを意味します。
置換の符号: 置換の偶奇性に応じて、偶置換を正（+1）、奇置換を負（−1）とする符号が定義されます。
符号付きグラフ: グラフの各辺に正または負の符号が付与されたグラフです。
符号付き測度: 集合に対して正または負の値を取る測度の一般化です。
符号付き面積・体積: 特定の向きや順序に基づいて、面積や体積に正または負の符号を割り当てる概念です。行列式の計算などで現れます。
* 電荷の符号: 物理学において、電荷は正（陽子と同じ性質）または負（電子と同じ性質）の符号を持ちます。

このように、「符号」は数の正負から始まり、数学や科学の様々な場面で、二項対立する性質や方向を示すための重要な概念として用いられています。

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