等位集合

等位集合とは

数学において、等位集合（レベルセット）とは、特定の関数が一定の値を持つ点の集合を指します。n変数の実数値関数fに対して、実数cに対する等位集合は次のように定義されます。

$$
L_{c}(f) = \{ (x_{1}, \ldots , x_{n}) \mid f(x_{1}, \ldots , x_{n}) = c \}
$$

この定義から、二変数の場合は曲線として表現されます。これを「等位線」や「等高線」と呼びます。三変数の場合には、等位集合は「等位面」として表され、さらに次元が高くなると「等位超曲面」といった用語が使われることがあります。

勾配との関係

等位集合には、関数の勾配との興味深い関係があります。定理によれば、ある点における関数fの勾配は、その点を通る等位線と直交します。この定理を理解するために考えてみましょう。二人の登山者が同じ山の同じ地点に立っているとします。一人は、最も急な勾配を選んで山頂を目指す積極的な性格であり、もう一人は安全を意識して、高度を保ちながら進む道を選ぶ慎重な性格です。この場合、初期位置での二人の進行方向は直交しているということを示しています。

これを証明するためには、一点x₀を固定し、その点を通る等位線を考えます。適切な変数tを用いることで、線を表現し、微分公式を用いて勾配との直交関係を示せます。具体的には、次のように変形できます。

$$

abla f({\mathbf {x}}_{0}) \cdot {\mathbf {x}}'(0) = 0
$$

この式は、x′(0)の接線、すなわち等位線と直交していることを示しています。したがって、フィールド内の任意の曲線の勾配が等位線に直交することが分かります。

関連概念

等位集合にはいくつかの関連する概念があります。例えば、関数fの劣位集合または下位集合は次のように定義されます。

$$
L_{c}^{-}(f) = \{ (x_{1}, \ldots , x_{n}) \mid f(x_{1}, \ldots , x_{n}) \leq c \}
$$

一方、優位集合または上位集合は次のように表せます。

$$
L_{c}^{+}(f) = \{ (x_{1}, \ldots , x_{n}) \mid f(x_{1}, \ldots , x_{n}) \geq c \}
$$

凸関数の場合、劣位集合は凸集合となる性質がありますが、その逆は必ずしも成り立ちません。また、このような等位集合はf⁻¹(c)とも表され、ファイバーの特別なケースと見なすことができます。

参考文献と関連項目

等位集合に関する文献として、数学の辞典や専門書籍があります。また、関連の概念として「陰伏曲面」や「等位面」、「上グラフ」などがあります。等高面法（LSM）やデータ構造におけるレベルセットについても、興味深い分野です。

様々な数学的文献やリソースを通じて、等位集合の理解を深めることができます。特に、Eric W. Weissteinによる「Level Set」は有名なリソースの一つです。

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