実数値関数

実数値関数（じっすうちかんすう、英語: real-valued function）は、その取る値がすべて実数である関数の総称です。より具体的には、関数の定義域に含まれる個々の要素に対して、ひとつの実数を正確に割り当てる規則や対応関係のことを指します。

特に、この関数の定義域自体も実数の集合、あるいはその部分集合である場合に、その実数値関数を実関数（じつかんすう、英語: real function）と呼びます。解析学をはじめとする多くの数学分野において、実関数は非常に頻繁に登場し、その性質が詳細に研究されています。

実数値関数は、数学における様々な重要な構造、とりわけ多くの関数空間を定義する際の基本的な構成要素として機能します。

一般の実数値関数

任意の集合 $X$ を定義域とする実数値関数全体を考えます。これらの関数は、$X$ から実数全体の集合 $\mathbb{R}$ への写像とみなすことができます。このような関数全体の集合は、しばしば $F(X, \mathbb{R})$ や $\mathbb{R}^X$ などと表記されます。

実数全体 $\mathbb{R}$ は、和と積に関して可換体と呼ばれる良好な代数構造を持っています。この構造を受け継ぎ、$F(X, \mathbb{R})$ もまた豊かな構造を持ちます。

ベクトル空間としての構造

$F(X, \mathbb{R})$ は、実数体上のベクトル空間となります。これは、以下のように関数の和とスカラー倍が定義できるためです。
関数の和: 任意の関数 $f, g \in F(X, \mathbb{R})$ に対し、それらの和 $f+g$ は、$X$ の各元 $x$ に対して $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ と定義されます。
加法単位元（ゼロ関数）: $X$ のすべての元 $x$ に対して値が $0$ である関数 $0$ が存在し、$f + 0 = f$ となります。
スカラー倍: 任意の実数 $c \in \mathbb{R}$ と関数 $f \in F(X, \mathbb{R})$ に対し、スカラー倍 $cf$ は、$X$ の各元 $x$ に対して $(cf)(x) = c \cdot f(x)$ と定義されます。

結合多元環としての構造

さらに、$F(X, \mathbb{R})$ は、関数の積を定義することで結合多元環の構造も持ちます。
関数の積: 任意の関数 $f, g \in F(X, \mathbb{R})$ に対し、それらの積 $fg$ は、$X$ の各元 $x$ に対して $(fg)(x) = f(x)g(x)$ と定義されます。これは各点ごとの積と呼ばれます。

半順序構造

実数には大小関係（順序）があります。この順序を利用して、$F(X, \mathbb{R})$ にも半順序を定義することができます。
* 順序: 任意の関数 $f, g \in F(X, \mathbb{R})$ に対し、$f \leq g$ であるとは、$X$ のすべての元 $x$ に対して $f(x) \leq g(x)$ が成り立つことと定義されます。

この半順序と先述の代数構造を合わせ持つことから、$F(X, \mathbb{R})$ は半順序環の一例ともなります。

特定の性質を持つ実数値関数

定義域 $X$ が追加的な構造を持つ場合、特定の性質を満たす実数値関数が特に重要になります。

可測な実数値関数

もし定義域 $X$ が何らかの$\sigma$-代数（可測空間の構造）を持つ場合、可測な実数値関数という概念が定義されます。これは、実数上に定義されるボレル集合と呼ばれる重要な集合族（$\sigma$-代数）に対し、関数の原像（逆像）がすべて $X$ の持つ $\sigma$-代数に属するような関数のことです。可測関数全体の集合もまた、上述したようなベクトル空間や代数の構造を持ちます。

連続な実数値関数

定義域 $X$ が位相空間である場合、連続な実数値関数が重要な研究対象となります。実数全体 $\mathbb{R}$ は標準的な位相（開集合系）や距離（絶対値に基づく）を持つため、連続性の概念が明確に定義できます。位相空間論や距離空間論において、連続関数は基本的な役割を果たします。特に、コンパクトな位相空間上で定義された連続な実数値関数は、必ず最大値と最小値を持つことが極値定理として知られています。

このように、実数値関数は、その基本的な定義から始まり、定義域や値域に与えられる追加構造に応じて、ベクトル空間、環、あるいは可測性や連続性といった重要な性質を持つ関数のクラスへと展開し、現代数学の様々な分野の基礎を形成しています。

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