累積カイ二乗検定

累積カイ二乗検定の詳細

累積カイ二乗検定は、二つの変数や母集団間の差を検定するために利用される統計学の方法です。これは主に、帰無仮説と対立仮説の設定によって進行します。1979年に東京大学の竹内啓教授と広津千尋教授により提案されたこの検定法は、1966年に田口玄一によって導入された累積法を基にしています。

検定の基本概念

検定では、最初に帰無仮説が立てられます。これは、2つの母集団（AとB）から抽出された観測値に差がないという仮定です。具体的には、観測値は順序付けられたk個の水準のどれかに分類され、各水準における観測の割合を示す確率pが考慮されます。帰無仮説は次の式で表されます。

H₀: p₁j = p₂j (j=1, 2, ..., k)

ここで、p₁jとp₂jは、母集団AおよびBにおいて水準jに属する確率を示します。

対立仮説の設定

対立仮説は、帰無仮説が成立しない場合の仮定であり、様々な形で設定できます。最も基本的な形では、母集団AとBの間に差があると仮定できますが、これでは優劣を明確に表現することはできません。そこで、各水準間の順序性を考慮したより複雑な対立仮説が考案されます。例えば、以下のような形が挙げられます。

• - H₂: ある水準における割合が他の水準とは異なる傾向を持っている。
• - H₃: 一つの母集団が常にもう一つの母集団よりも高い水準に位置する。

このように、対立仮説を設定することで、観測データがどのように傾向を持っているかを評価するための枠組みが整います。

検定統計量の算出

帰無仮説のもとで、検定統計量が計算されます。こちらは、各水準におけるカイ二乗値を基に組み合わせられ、全体の検定統計量が得られます。

egin{align}
H_{0j}: P_{1j} = P_{2j} (j = 1, 2, ext{...}, k-1) \
\text{{カイ二乗統計量は以下で表されます：}} \
\chi_{j}^{2} = \frac{2n(Y_{1j} - Y_{2j})^{2}}{Y_{ullet j}(2n - Y_{ullet j})}
\end{align}

これに基づいて、全体のカイ二乗統計量は

∗

のように定義されます。

egin{align}
\chi^{2} = \sum_{j=1}^{k-1}{\chi_{j}^{2}}
\end{align*}

適用範囲

この検定は、特に傾向のある対立仮説を想定するような状況で利用されます。具体的には、二項分布や多項分布の比較などに適用できます。また、2×k分割表における独立性の検定や、用量反応関係の検定などにも使用されています。さらに、分割表の種類によっては、m×2分割表や2×l分割表、m×l分割表といったさまざまな形式での応用が可能です。

関連検定法

累積カイ二乗検定には、他の多くの統計検定と関連性があります。例えば、コクラン・アーミテージ傾向検定、ウィルコクソンの符号順位検定、クラスカル・ウォリス検定などが挙げられます。これらは共に、異なる形で母集団間の差異や傾向を探るための手法です。

このように、累積カイ二乗検定は、データの傾向を分析するために非常に有効な手法の一つであり、さまざまな場面において利用されています。

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