組成列

組成列（Composition Series）

組成列は、抽象代数学において、群や加群などの代数的構造を、それ以上分解できない基本的な要素である「単純群」や「単純加群」に分解し、その内部構造を深く理解するための重要な概念です。与えられた構造を、いわば代数的な「原子」に還元して捉える視点を提供します。

群における定義と性質

群 G の組成列とは、群 G 自身から単位元 {1} のみからなる自明な部分群まで続く、真の包含関係で結ばれた部分群の有限列 G = G_n ⊃neq G_{n-1} ⊃neq ... ⊃neq G_0 = {1} です。この列が組成列であるためには、次の二つの条件を満たす必要があります。

1. 隣り合う部分群において、小さい方の部分群 G_{i-1} が大きい方の部分群 G_i の正規部分群である（G_i ⊵ G_{i-1}）。
2. 隣り合う部分群の間の剰余群 G_i / G_{i-1} が単純群である。ここで単純群とは、自明なものを除く正規部分群を持たない群のことです。

この単純剰余群 G_i / G_{i-1} を「組成因子」と呼びます。組成列を構成する部分群の数 n は、その組成列の「長さ」と呼ばれます。

組成列は、正規鎖（隣り合う部分群間の正規性のみを要求する列）の中でも、間にこれ以上部分群を挿入して細分化できないという意味で「極大な」有限長の列です。すべての有限群は必ず組成列を持ちますが、無限群の中には組成列を持たないものもあります（例：整数の加法群 Z）。組成列の存在は、対象がある種の有限性を備えていることを示唆する性質です。

なお、組成列の各部分群 G_i が、元の群 G 全体の正規部分群である場合、その組成列を特に「主組成列」と呼びます。組成列の組成因子は単純群ですが、組成列が存在すること自体が、元の群が組成因子の直積に分解されるような完全可約群（半単純群）であることと同値ではありません。

ジョルダン・ヘルダーの定理

一つの群に対して、定義を満たす複数の異なる組成列が存在することがあります。しかし、ジョルダン・ヘルダーの定理は、それらの組成列が本質的に同じであることを証明しています。この定理によれば、与えられた群の任意の二つの組成列は、必ず同じ「長さ」を持ちます。さらに、それぞれの組成列から得られる組成因子（単純群）の集合は、その順序を適切に入れ替えることで、互いに同型なものとして完全に一致します。つまり、組成因子とその重複度は、元の群の構造によって一意に定まる重要な不変量であると言えます。

具体的な例として、位数12の巡回群 C12 を考えましょう。この群には、例えば C12 ⊃ C6 ⊃ C2 ⊃ {1} や C12 ⊃ C4 ⊃ C2 ⊃ {1} といった異なる組成列が存在します。前者からは組成因子として巡回群 (C2, C3, C2) が、後者からは (C3, C2, C2) が得られます。これらは順序こそ異なりますが、含まれる単純群の集合としては {C2, C2, C3} というように同型を除いて一致しており、ジョルダン・ヘルダーの定理の主張が成り立っていることが確認できます。

加群における組成列

加群に対しても同様に組成列が定義されます。環 R 上の R-加群 M の組成列は、M から零加群 {0} までの部分加群の有限列 M = M_n ⊃neq M_{n-1} ⊃neq ... ⊃neq M_0 = {0} で、隣り合う部分加群の間の商加群 M_i / M_{i-1} が単純加群（零加群以外の部分加群を持たない加群）であるものです。加群 M が有限の組成列を持つことと、M がアルティン加群かつネーター加群であることは同値な条件です。

応用と一般化

組成列の概念は、群や加群にとどまらず、作用域を持つ群や、より抽象的なアーベル圏における対象など、様々な代数的構造や圏論的文脈にも拡張されます。これらのより広い文脈でも、ジョルダン・ヘルダーの定理に類似した一意性定理が成り立ちます。組成列は、代数的な対象を基本的な構成要素に分解し、その分解の仕方が一意であるという強力な性質から、代数学の多くの分野で基礎的な解析ツールとして用いられています。

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