経験過程

経験過程の概要

経験過程（けいけんかてい）は、確率論における経験測度の収束に関連する理論で、主にノンパラメトリック統計学などへ応用されます。この理論は、確率測度へ収束する経験測度の特性を探るものです。特に、Glivenko-Cantelliの定理によりある条件下での収束の性質が示され、この理論によって収束の速さも把握することが可能です。

定義と中心極限定理

経験過程において定義される中心化された経験測度は、以下のように表されます：

$$
G_n(A) = \sqrt{n}(P_n(A) - P(A))
$$
ここで、$P_n(A)$ は経験測度、$P(A)$ は確率測度を表します。この定義に基づき、適当な可測関数$f$に関して次のような表現が可能です：

$$
G_n f = \sqrt{n}(P_n - P)f = \sqrt{n}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f(X_i) - \mathbb{E} f\right)
$$
このように、経験過程の中心極限定理に基づき、適当な可測集合$A$に対して$G_n(A)$は正規分布に収束します。さらに、関数$f$に対しても同様の収束が見られます。

経験過程の具体的な例

経験過程に関するいくつかの有名な結果の一つとしてDonskerの定理があります。この定理は、経験過程がガウス過程に接近することを示しており、Donskerクラスと呼ばれる特定のクラスがGlivenko-Cantelliクラスに含まれることを明らかにしました。

一つの具体例として、経験分布関数を考えます。独立同分布の確率変数$X_1, X_2, …, X_n$における経験分布関数$F_n(x)$は、次のように定義されます：

$$
F_n(x) = P_n((-\\infty, x]) = P_n I_{(-\infty, x]}.
$$
この場合、経験過程は可測集合のクラス$C$によって特徴付けられます。このクラスはDonskerクラスであることが証明でき、特に次の表現が成り立ちます：

$$
\sqrt{n}(F_n(x) - F(x)) \text{はブラウン橋} B(F(x))に弱収束する。
$$

経典と参考文献

経験過程に関する様々な研究が行われており、多くの文献が存在します。例えば、Billingsleyによる『Probability and Measure』や、Dudleyによる論文『Central limit theorems for empirical measures』などがあります。これらの研究は、経験過程の理論の発展及びその応用に貢献してきました。

経験過程は、特に統計学における推定や検定において重要な手法として利用されています。この分野における探求は、さらなる発展を期待させるものであり、将来的な研究においても注目され続けるでしょう。

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