ガウス過程

ガウス過程とは

ガウス過程、またの名をガウス-かてい（英: Gaussian process）は、連続時間での確率過程の一種です。名前は、正規分布がガウス分布と呼ばれることに由来していますが、ガウス自身がこの分布を最初に研究したわけではありません。本稿では、ガウス過程の定義と特性、特にその応用について詳しく解説します。

定義と性質

確率過程 {Xt}t∈T がガウス過程であるというのは、任意の有限個の確率変数 Xt1, ..., Xtk を選んだ際、それらの線型結合が正規分布に従う場合を指します。この性質は、選ばれた添字 t1, ..., tk によって形成される多次元正規分布を通じて示されます。具体的には、確率変数の期待値や共分散行列を用いると、目的のガウス過程が成り立つ条件を検討できます。特に、期待値がゼロの条件を仮定する文献も多く見受けられます。

主なガウス過程

さまざまなガウス過程の中でも、特に注目されるのは以下の過程です。

1. ウィーナー過程
最も広く知られ、研究されているガウス過程の一つです。ウィーナー過程は定常ではありませんが、定常増分を持っているため、特定の時間間隔における確率変数の増分は独立した正規分布に従います。

2. オルンシュタイン＝ウーレンベック過程
これは定常なガウス過程であり、多くの物理現象のモデリングに利用されます。相関の減衰を特徴とし、長期的には平均に戻る性質を持ちます。

3. ブラウン橋
増分が独立ではないガウス過程です。ブラウン橋は、指定された始点と終点の間での動作を記述するために使われ、金融工学などでの応用が期待されます。

4. 非整数ブラウン運動
ウィーナー過程の拡張であり、より複雑なフラクタル特性を持つ運動を表現します。Hurst指数が非整数値を取ることで、様々な時間スケールにおける依存性をモデル化できます。

応用

ガウス過程は、特に機械学習分野での教師あり学習において回帰分析に利用されます。設定された平均関数と共分散関数が知られている場合、与えられたデータがガウス過程に従うと仮定することで、未知の観測値に対する平均や分散を推測することが可能になります。この特性は、多くの実用的な問題に対する柔軟で強力な解決策を提供します。

参考文献

ガウス過程に関するさらなる情報を得るためには、以下の文献が役立つでしょう。

• - R. M. Dudley, Real Analysis and Probability, Wadsworth and Brooks/Cole, 1989.
• - B. Simon, Functional Integration and Quantum Physics, Academic Press, 1979.
• - C. E. Rasmussen, C. K. I. Williams, Gaussian Processes for Machine Learning, MIT Press, 2006.
• - M.L. Stein, Interpolation of Spatial Data: Some Theory for Kriging, Springer, 1999.

ガウス過程は、数学的理論とデータ解析の架け橋となり、さまざまな科学的および技術的問題において重要な役割を果たしています。

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