線形システム論

線形システム論

線形システム論（せんけいシステムろん、英：linear system theory）は、現代制御理論において極めて重要な位置を占める分野です。これは、一階連立線形微分方程式によって記述される「状態方程式」を主要な対象とします。システムの内部状態、入力、出力の関係を行列とベクトルを用いて表現するため、線形代数、特に線形空間論や行列代数といった数学的な道具が強力な解析・設計ツールとして活用されます。この数学的な明確さから、線形システム論は制御系の解析や設計において多くの基本的な理論的枠組みと実践的な手法を提供し、現代制御論の発展に大きく貢献しました。

線形システム論で扱われるシステムの応用範囲は広範です。現実世界のシステムはしばしば非線形な特性を持ちますが、安定な動作点（平衡点）の近傍では線形システムとして近似できる場合が多く、この線形近似に基づいて制御系を設計することが有効であることが少なくありません。このため、航空宇宙、ロボティクス、プロセス制御、経済システムなど、多様な工学・科学分野でその考え方や手法が応用されています。

モデル表現：状態方程式

線形システム論の中心的なモデル表現は、以下の形式で表される線形時不変状態方程式です。

$$
\begin{aligned}
\dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\
y(t) &= Cx(t) + Du(t)
\end{aligned}
$$

ここで、$x(t)$ はシステムの内部状態を表すベクトル、$u(t)$ はシステムへの入力ベクトル、$y(t)$ はシステムからの出力ベクトルです。$A, B, C, D$ はそれぞれシステムの特性を定める行列であり、通常は定数行列として扱われます。$D=0$ の場合（厳密にプロパーなシステム）が多く議論されます。入力および出力の数がそれぞれ1であるシステムをSISO (Single Input Single Output) システム、そうでないシステムをMIMO (Multiple Input Multiple Output) システムと呼びます。

主要な解析概念

線形システムを理解し、制御系を設計するためには、いくつかの重要な概念があります。

平衡点 (Equilibrium Point):
システムへの入力が全てゼロである場合に、システムの内部状態が時間と共に変化しない点のことを指します。線形システムにおいては、原点 $x=0$ は常に平衡点であり、行列 $A$ が正則でない場合には、原点を含む線形空間が平衡点集合となります。

安定性 (Stability):
システムの状態が平衡点からわずかに外れた際に、時間経過と共に再び平衡点に戻る性質を指します。線形システムの場合、この安定性はシステム行列 $A$ の固有値の実部の符号によって判別されます。すべての固有値の実部が負であれば、システムは漸近安定となります。

可制御性 (Controllability):
システムに対して適切な入力を加えることで、その状態を任意の望む状態へ有限時間内に移行させることが可能である性質を指します。可制御性は、システム行列 $A$ と入力行列 $B$ によって生成される可制御行列 $V = [B, AB, \ldots, A^{n-1}B]$ のランクがシステムの次元 $n$ と等しいかどうか（フルランクであるか）で判定できます。完全に可制御なシステムは、たとえ不安定であっても、状態フィードバックによって安定化することができます。

可観測性 (Observability):
システムの入出力の時間応答を観測することで、システムの内部状態を一意に決定することが可能である性質を指します。可観測性は、システム行列 $A$ と出力行列 $C$ によって生成される可観測行列 $N = [C^T, (CA)^T, \ldots, (CA^{n-1})^T]^T$ のランクがシステムの次元 $n$ と等しいかどうか（フルランクであるか）で判定できます。完全に可観測なシステムに対しては、観測器を設計することで、観測できない内部状態を推定することができます。

正準形 (Canonical Form):
線形システムは、適切な座標変換を行うことで、システムの入出力特性を変えることなく、特定の標準的な形式に変換できます。これらの標準形を「正準形」と呼びます。正準形は、システムの構造的特性（可制御性、可観測性など）を明らかにするのに役立ちます。代表的なものとしては、ジョルダン標準形や、システムの特性多項式と直接的に関連付けられる可制御正準形や可観測正準形などがあります。例えば、単入力システムの可制御正準形は以下のように記述されます。

$$
\dot{x} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \\
-a_0 & -a_1 & \cdots & -a_{n-1}
\end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u
$$
ここで、$a_i$ はシステムの特性多項式の係数です。

制御系設計手法

線形システム論に基づいて、様々な制御系設計手法が開発されています。

状態フィードバック (State Feedback):
システムの全ての内部状態量 $x$ を観測可能であるとし、その情報を用いて制御入力 $u$ を決定する手法です。典型的には $u = Fx$ の形で表され、適切なフィードバックゲイン行列 $F$ を設計することで、システムの極（安定性や応答速度を決定する特性値）を望ましい位置に配置することができます（極配置法）。

出力フィードバック (Output Feedback):
実際に測定可能な出力 $y$ のみを用いて制御入力 $u$ を決定する手法です。これは $u = Ky$ の形で表されることもありますが、多くの場合は、出力から状態を推定する観測器と組み合わせた状態フィードバックの形で実現されます。

極配置法 (Pole Placement Method):
状態フィードバックを利用して、閉ループシステムの特性根（極）を設計者が指定した任意の位置に配置することにより、システムの動特性（応答速度、安定性など）を調整する設計手法です。

最適レギュレータ (Optimal Regulator):
二次形式の評価関数を最小化するような最適な制御入力を求める手法です。これは最適制御理論の範疇に含まれ、リカッティ方程式を解くことによって状態フィードバックゲインが求められます。

これらの解析概念と設計手法は、システムを数学的にモデル化し、その特性を理解した上で、目標とする性能（安定性、応答性、外乱抑制能力など）を達成するための制御系を系統的に構築することを可能にします。

システム同定と観測器

システム同定 (System Identification):
実際のシステムに対して入力を加え、得られる出力を観測することで、システムの数学モデル（状態方程式のパラメータである行列A, B, C, Dなど）を推定するプロセスです。理論的な解析や制御設計は正確なモデルを前提とするため、システム同定は理論と現実を結びつける非常に重要な技術です。

* 観測器 (Observer):
システムの入力と測定可能な出力を利用して、直接観測できない内部状態をリアルタイムに推定する動的なシステムです。状態フィードバック制御を行う際に、すべての状態量を直接測定できない場合に、この観測器による状態推定値を用いることで、状態フィードバックと同等の効果を得ることが可能になります。

線形システム論は、現代制御理論の基盤であり、その概念と手法はより複雑な非線形システムや適応制御、強化学習といった先進的な制御理論を学ぶ上でも不可欠な基礎知識となります。その理論的な体系性と応用範囲の広さから、制御工学を学ぶ者が最初に習得すべき重要な分野の一つとされています。

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