繰り込み

繰り込み：無限大と向き合う量子場の理論の技法

量子場の理論において、計算結果が発散してしまう問題を解決する数学的技法が「繰り込み」です。単なる計算上のテクニックではなく、場の量子論の基礎をなす重要な原理でもあります。繰り込みによって、電磁相互作用を記述する量子電磁力学（QED）が完成し、その後の量子色力学（QCD）やワインバーグ・サラム理論といった理論構築の礎となりました。

無限大はどこから来るのか？

量子力学の摂動論では、相互作用を考慮しない自由な状態を初期状態として時間発展を計算します。しかし、場の量子論では、相互作用を通じて無数の仮想粒子が生まれる中間状態が存在します。これらの仮想粒子の運動量を積分すると、質量、結合定数などの物理量に無限大が発散してしまうのです。これは、計算方法の問題ではなく、理論の根本に関わる問題として認識されています。

例えば、単純なスカラー場理論において、2点関数の1ループ補正を計算すると、発散項が現れます。この発散は、物理的な観測結果とは一致しません。これは、理論のパラメータ（裸のパラメータ）に無限大が含まれており、その無限大が計算結果に現れていることを示唆しています。

繰り込みの手法：無限大の相殺

繰り込みでは、この無限大を理論のパラメータの再定義によって取り除きます。まず、裸のパラメータを用いて理論を記述し、次に、裸のパラメータを物理的なパラメータ（繰り込まれたパラメータ）と、発散項（counter term）に分割します。そして、量子補正による発散とcounter termを相殺させることで、有限な物理量を得ます。

具体的な計算方法は様々ですが、次元正則化法や紫外切断による正則化法などが用いられます。次元正則化法では、空間の次元をわずかに変更することで発散を制御し、紫外切断法では積分の上限を有限の値で打ち切ります。いずれの方法も、発散を取り除くための手段であり、物理的な意味合いは必ずしも明らかではありません。

繰り込み可能性

全ての場の理論が繰り込み可能であるわけではありません。有限個のcounter termで全ての無限大を取り除ける理論を「繰り込み可能」といいます。QED、ワインバーグ・サラム理論、QCDなどは、結合定数が質量次元を持たないゲージ理論であるため繰り込み可能です。これは、ウォードの恒等式と呼ばれる対称性によって保証されています。一方、結合定数が負の質量次元を持つ理論では、発散項が無限に増え、繰り込み不可能となります。重力理論は、この繰り込み不可能な理論の代表例です。

繰り込みスケール

繰り込みを行う際には、物理定数の値を決めるエネルギー（または距離）のスケールを指定する必要があります。このスケールを「繰り込みスケール」と呼びます。繰り込みスケールは、理論の物理量に影響を与えますが、異なる繰り込みスケールで得られた理論は、物理的には同等です。繰り込み群を用いることで、異なる繰り込みスケールでの物理量の対応関係を調べることができます。

歴史とノーベル賞

繰り込みの概念は、1930年代の量子電磁力学の発展において、発散問題の解決策として生まれました。朝永振一郎、ジュリアン・シュウィンガー、リチャード・ファインマンによる繰り込み理論の確立は、量子電磁力学の完成、ひいては現代素粒子物理学の基礎を築きました。彼らの業績はノーベル[[物理学賞]]を受賞しました。その後も、繰り込み可能性の証明、繰り込み群による漸近的自由性の記述など、多くの研究が繰り込み理論の進歩に貢献し、多くの研究者達がノーベル賞を受賞しています。

まとめ

繰り込みは、量子場の理論において無限大の問題を解決する強力な技法です。一見、数学的な技巧のように見えるかもしれませんが、それは量子論の基礎をなす重要な概念であり、現代物理学の多くの発展を支えています。 繰り込み可能性や繰り込みスケールといった概念は、理論の性質を理解する上で不可欠な要素であり、さらなる研究の進展に繋がっています。

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