量子電磁力学

量子電磁力学：ミクロな世界の電磁相互作用の謎を解き明かす

量子電磁力学（Quantum Electrodynamics, QED）は、電子や陽子といった荷電粒子間の電磁相互作用を、量子論の枠組みで記述する理論です。私たちの身の回りの電磁現象をミクロな視点から解き明かす、現代物理学の礎をなす重要な理論と言えるでしょう。

光子の交換と電荷保存則

QEDでは、荷電粒子間の相互作用を、光子という粒子の交換によって説明します。荷電粒子は量子的な場として扱われ、その場の振る舞いを記述することで、電磁相互作用の詳細な様子を明らかにします。特に、電荷が時空のあらゆる点で常に保存するという要請は、光子の存在を自然に導き出す重要な役割を果たしています。この要請はゲージ不変性という対称性として理論に組み込まれ、質量がゼロである光子（ゲージ場）の性質と深く関わっています。光子の質量がゼロであるという事実は、相対性理論における光速不変の原理と密接に関連しています。

QEDにおけるゲージ不変性の概念は、その後、電磁相互作用以外の相互作用の理論構築においても、基本的な枠組みとして広く利用されています。これは、粒子場をまず設定し、ゲージ不変性を要求することで、粒子間の相互作用を導き出すという「ゲージ原理」という考え方につながります。

量子電磁力学の黎明期と無限大問題

QEDの起源は、1927年にポール・ディラックが粒子の生成・消滅演算子を導入して電磁場の量子化に成功したことに遡ります。その後、パウリ、ウィグナー、ヨルダン、ハイゼンベルクといった錚々たる物理学者たちが理論の定式化に貢献し、1932年にはフェルミによってエレガントな定式化がほぼ完成しました。しかし、この時点では、計算を行うと無限大の発散が現れるという深刻な問題が残されていました。この無限大の発散は、物理的な解釈が不可能なため、理論の妥当性に疑問符を投げかけるものでした。

この問題は、1930年代初頭にオッペンハイマーらによって認識され、ブロッホとノルドジーク、ワイスコフらの研究により、摂動展開の高次の項で無限大が現れることが明らかになりました。さらに、湯川秀樹やディラックによって、時間の順序関係が成り立たないという因果律の破れも指摘され、理論の整合性は深刻な危機に瀕していました。また、相対論的な変換に対して理論の形式が変化するという問題（共変性の欠如）や、複雑な計算形式も解決を困難にしていました。

朝永振一郎らによる繰り込み理論の完成

このような混乱の中で、1943年、朝永振一郎は相対論的な共変性を満たす「超多時間論」を提唱し、湯川・ディラックらが指摘した因果律の破れを、無限大の補正を加えることで回避することに成功しました。さらに、くりこみにおいて重要な役割を果たす「相互作用表示」を提示しました。これは、戦後シュウィンガーも独立に発見しています。

第二次世界大戦後、マイクロ波技術の発展により、水素原子のエネルギー準位のわずかなずれ（ラムシフト）や電子の異常磁気モーメントが精密に測定できるようになりました。これらの実験結果が、既存の理論では説明できない現象の存在を示したのです。1947年、ハンス・ベーテは、質量と電荷に無限大の補正を加えることで、無限大がうまく相殺し有限の値が得られることを示す論文を発表しましたが、これは非相対論的な近似計算でした。

朝永はベーテの計算が、自身の超多時間論の延長線上にあることを認識し、相対論的なくりこみ理論の完成に尽力しました。一方、ファインマン、シュウィンガー、ダイソンも、ラムシフトを契機にくりこみに取り組み、経路積分や相互作用表示を用いて理論の定式化を進めました。最終的に、朝永、シュウィンガー、ファインマン、ダイソンらによって、摂動展開のあらゆる次数において観測量を有限の値で計算できるような、QEDの厳密な定式化が完成しました。このくりこみ理論の完成には、超多時間論、相互作用表示、経路積分といった様々なアプローチが用いられ、実に20年もの歳月を要しました。この偉大な業績により、朝永、シュウィンガー、ファインマンの3名は1965年にノーベル物理学賞を受賞しました。

繰り込みと場の量子論

くりこみは、場の量子論における基本的な概念であり、理論の妥当性を保証するために必須の操作です。くりこみによって物理的な矛盾は解消されましたが、ファインマン自身は、その数学的な厳密性について最後まで疑問を抱いていました。また、超多時間論によって因果律の破れの問題は回避されましたが、完全に解決されたわけではありません。

QEDとその発展

QEDは、その後発展する多くの場の量子論の基礎となっています。ヒッグス機構、電弱統一理論、量子色力学といった理論は、QEDの概念や手法を基礎に発展し、素粒子物理学の標準模型の構築に貢献しています。

QEDの数学的定式化

数学的には、QEDはU(1)対称性を持つ可換ゲージ理論として定式化されます。電磁場と相互作用する物質場のラグランジアン密度を用いて、理論全体が記述されます。ディラック方程式を用いることで、電磁場と物質場の相互作用を詳細に記述できます。

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