繰り返しゲーム

繰り返しゲームの概念

繰り返しゲーム（repeated game）とは、同一のゲームが一度だけでなく、複数回にわたってプレイされる状況を、全体として一つの大きなゲームとして捉える考え方です。これは、ゲーム理論における基本的な概念の一つであり、特に時間を通じてプレイヤー間の相互作用が続く場合に、単発のゲームでは見られない複雑な戦略や行動のダイナミクスを分析するために用いられます。

単発のゲームでは、各プレイヤーは一度きりの意思決定を行います。しかし、ゲームが繰り返される場合、プレイヤーは将来のプレイにおける相手の反応を考慮に入れることができます。このため、その回のプレイにおける直接的な利得だけでなく、将来にわたる影響も考慮した上で戦略を選択することになります。

繰り返し回数による分類

繰り返しゲームは、その繰り返し回数によって大きく二つに分類されます。

有限回繰り返しゲーム（finitely repeated game）: ゲームが事前に定められた有限の回数だけ繰り返される場合です。例えば、「このゲームを100回繰り返す」といった状況がこれに該当します。
無限回繰り返しゲーム（infinitely repeated game）: ゲームが終了することなく、事実上無限に繰り返されると想定される場合です。これは、ゲームの終了時期が不明確であったり、非常に長い期間にわたって継続したりする状況をモデル化する際に用いられます。

囚人のジレンマと繰り返しゲーム

繰り返しゲームの概念が特に力を発揮するのは、囚人のジレンマのような状況を分析する際です。

古典的な囚人のジレンマでは、お互いが利己的に最適な選択をすると、結果的に両者にとって望ましくない「非協力」という状態に陥ってしまいます。これは、相手がどのような行動をとろうとも、自分自身にとっては「非協力」を選択する方が常に高い利得を得られるためです。この「互いに非協力」という状態が、1回きりのゲームにおける唯一のナッシュ均衡となります。

しかし、この囚人のジレンマが何度も繰り返される状況を考えると、プレイヤーの戦略は単なる一度の行動選択ではなくなります。代わりに、過去の自分や相手の行動履歴に応じて、将来の行動を決定する「プログラム」や「方針」のようなものとして戦略が考えられるようになります。

このような繰り返しゲームの文脈では、協力行動を促すような様々な戦略が登場します。代表的なものに以下の二つがあります。

トリガー戦略（Trigger Strategy）: 最初は協力的ですが、相手が一度でも非協力的な行動をとった場合、それ以降は永久に非協力に転じるという戦略です。相手の裏切りに対する厳しい報復を含むため、「引き金（トリガー）」に例えられます。
しっぺ返し戦略（Tit-for-Tat Strategy）: 最初は協力的ですが、その後は前回の相手の行動をそのまま模倣するという戦略です。相手が協力すれば自分も協力し、相手が非協力ならば自分も非協力で応じます。これは、相手の行動に対して即座に対応しつつ、協力を引き出す可能性も残す戦略と言えます。

将来利得の割引と協力の持続

繰り返しゲームでは、プレイヤーは将来にわたって発生する利得を考慮に入れます。しかし、将来の利得は現在の利得ほど確実ではない、あるいは価値が低いと見なされるため、将来の利得は通常、一定の割引率を適用して現在価値に換算されます。

この割引率が十分に小さい場合、つまりプレイヤーが将来の利得を比較的重視する場合、ゲームの結果は単発のゲームとは大きく変わる可能性があります。具体的には、今この瞬間に相手を裏切って非協力的な行動をとることで得られる一時的な利益よりも、その裏切りに対する相手からの報復（例えば、将来にわたって非協力的な行動をとられること）によって将来被るであろう損失の方が大きくなると判断されるようになります。

このような状況下では、しっぺ返し戦略やトリガー戦略のような、特定の条件下で協力を持続させようとする戦略が、ナッシュ均衡となり得ます。つまり、互いにこれらの戦略を採用している場合、どちらか一方が戦略を一方的に変更しても、より良い結果が得られないという安定した状態が生まれるのです。その結果として、プレイヤーたちは繰り返しゲームを通じて、互いに協力し続けるという、単発ゲームでは達成されなかった望ましい状態を実現することが可能になります。

このような、繰り返しゲームにおいて非協力的な行動だけでなく、協力的な行動も均衡として成立しうるという現象を一般的に論じたのがフォーク定理（Folk Theorem）です。フォーク定理は、十分な条件（特に無限回繰り返しゲームや、割引率が十分に小さい場合など）の下で、非常に多様な結果（利得の組み合わせ）がナッシュ均衡として実現しうることを示しています。

繰り返しゲームの理論は、経済学における寡占市場での企業の行動、国際関係における国家間の協力や紛争、進化生物学における生物間の相互作用など、幅広い分野で応用されています。これは、現実世界の多くの状況が一度きりの相互作用ではなく、繰り返される関係性の中で成り立っているためです。

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