置換可能素数

置換可能素数の概念と特性

置換可能素数は、与えられた基数に対して、任意の桁の数字を置き換えても素数であり続ける特異な素数群です。この用語は、ハンズ・エゴン・リチャートによって初めて使用され、彼はこの概念を「permutable primes」と呼びました。また、後に「absolute primes」や「anagrammatic primes」といった異なる名称でも知られるようになりました。

置換可能素数の例

基数10において、49,081桁以下の全ての置換可能素数が確認されています。一部の例を書き出すと、

• - 2
• - 3
• - 5
• - 7
• - 11
• - 13
• - 17
• - 31
• - 37
• - 71
• - 73
• - 79
• - 97
• - 113
• - 131
• - 199
• - 311
• - 337
• - 373
• - 733
• - 919
• - 991
• - R19（11桁の1で構成される数）
• - R23
• - R317
• - R1031 などがあります。

これらの数のいずれも、桁の数字を入れ替えても素数である特徴があります。特に興味深いのは、上記のリストから、桁の置換によって同じ数字が得られるものを除いて得た16個の素数です。これに該当するのは以下の通りです。

• - 2
• - 3
• - 5
• - 7
• - 11
• - 13
• - 17
• - 37
• - 79
• - 113
• - 199
• - 337
• - R19
• - R23
• - R317
• - R1031

このように、特定の条件を満たす2桁以上の置換可能素数が存在するのです。

レピュニット数としての置換可能素数

置換可能素数の中には、レピュニット数（すべての桁が同じ数字からなる数）も含まれます。 レピュニット数の一般形は、
\[
R_n = \frac{10^n - 1}{9}
\]
この形は、n個の1から成る数を表現します。全てのレピュニット素数は置換可能素数とみなされますが、定義によっては少なくとも2つの異なる桁から成る必要があります。これは、レピュニット数が特定の条件に基づくためです。

数字の構成に関する考察

また、全ての2桁以上の置換可能素数は、1, 3, 7, 9の数字で構成されることが分かっています。これは重要なポイントで、2以外の偶数は素数にはならず、また5以外の素数は5で割り切れません。そのため、置換可能素数においては、1, 3, 7, 9の4つの数字から3つを使用した場合には、素数として成立しないことが証明されています。

さらに、1, 3, 7, 9の中から選んだ2つの数字が、それぞれが2つ以上の異なる桁を持つような場合の置換可能素数も存在しないことが明らかになっています。特に、3と6×10^175の間の桁数nを持つレピュニット数以外の置換可能素数は存在しないとされ、再び、上記のレピュニット以外の置換可能素数が存在しないとの推測も立てられています。

まとめ

置換可能素数の研究は、素数に関する数学の興味深い一端を示すものであり、これらの素数の特性や組み合わせがどのようにして成り立つのかを探ることは非常に魅力的です。今後もこの分野での研究が進むことが期待されています。

もう一度検索