群の拡大

群の拡大の概念

群の拡大（ぐんのかくだい）とは、数学の一分野、特に群論において重要な概念であり、特定の正規部分群とその剰余群を用いて群を表現する手法を指します。具体的には、2つの群 Q と N がある時、群 G が N による Q の拡大であるとされるためには、以下の短完全列が存在する必要があります。

```
1 → N → G → Q → 1
```

この状態にあるとき、G は群の性質を持ちつつ、N はその正規部分群となり、剰余群 G/N は群 Q に同型であるという特性を持ちます。このように群の拡大は、群 G の性質を考察するためのひとつの枠組みを提供します。

群の拡大は、しばしば「拡大の問題」と呼ばれるテーマの中で登場します。この問題は、Q と N からどのような群 G を構築できるかという探求であり、任意の有限群は、極大正規部分群 N と、単純剰余群 G/N を持つため、有限単純群の列として形成することができます。これは有限単純群の分類に繋がる重要な事実です。

中心拡大とその例

一部の拡大は特に重要であり、N が群 G の中心に含まれる場合を中心拡大（central extension）と呼びます。この中心拡大は群 G の構造をさらに深く探求するための手段です。

例えば、特定の群 H が与えられるとき、どのように群 G が H の N による拡大として得られるかという問いは、19世紀後半から密接に研究されてきました。この研究によって、有限群の組成列は部分群の列 {A_i} になることが示されており、各 A_{i+1} が A_i のある単純群による拡大であることが基本的な考えとなります。

拡大問題の難しさ

拡大問題は非常に難しい問題です。その解決策として、H の K による拡大を全て網羅すること、あるいはそのような拡大を易しく計算しやすい数学的対象で表現する方法が求められています。拡大の同一性、すなわち異なる拡大が同じ意味を持つ場合の条件を知ることは重要であり、これにより拡大の同値類の成す集合を Ext(H, K) で表すことができるようになります。

自明な拡大と分解型拡大

自明な拡大とは、群の拡大が特定の規則に従って与えられる場合を指します。具体的には、通常の直積としての形をもつ際に自明であるとされます。また、準同型 s: H → G が存在し、s と商写像 π: G → H との合成が恒等写像となる場合、その拡大は分解型であると言います。この特性は拡大の分類において非常に扱いやすく、群 G が K と H の半直積である条件が求められます。

リー群における中心拡大

リー群に関しても中心拡大の概念が存在し、特に代数的位相幾何学との関連が強いです。連結リー群 G の連結被覆群 G* は、自然に G の中心拡大を形成します。この構成が中心拡大を結果として与え、リー群の間には具体的な関係が生じます。

結論

群の拡大は、単に群の複雑な構造を理解する基礎であり、群論や関連する数学の分野で深い意味を持ちます。中心拡大や自明な拡大、分解型拡大など様々なタイプの拡大を通じて、群の性質を明らかにするアプローチが提案され、数学の進展に寄与しています。

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