群遅延と位相遅延

フィルタ回路における遅延時間は、入力信号と出力信号の時間的なずれとして現れます。この遅延時間は、回路の特性を理解し、意図した動作を実現する上で重要な要素です。特に、波形に歪みを生じさせないためには、遅延時間を一定に保つことが求められます。この要求を満たすためのフィルタの一例として、ベッセルフィルタが挙げられます。

遅延時間を評価する指標として、位相遅延と群遅延の2つが用いられます。これらの指標は、入力波形と出力波形の位相差に基づいて算出されますが、それぞれ異なる観点から遅延時間を捉えます。

位相遅延

位相遅延（phase delay）τpは、入力波形と出力波形の位相差φを角周波数ωで割った値として定義されます。

math
\tau _{p}=-{\frac {\phi }{\omega }}


この式が示すように、位相遅延は特定の周波数における波形の位相ずれを直接的に表します。しかし、位相には2πnの不定性（φとφ+2πnの間で区別がつかない）が存在するため、フィルタ回路の特性を評価する際には、位相遅延よりも後述する群遅延が用いられることが一般的です。

群遅延

群遅延（group delay）τgは、入力波形と出力波形の位相差φを角周波数ωで微分した値として定義されます。

math
\tau _{g}=-{\frac {d\phi }{d\omega }}


位相遅延が特定の周波数における位相ずれを表すのに対し、群遅延は周波数変化に対する位相ずれの変化率を示します。言い換えれば、位相遅延が単純な正弦波の「ピークの差」を表すのに対し、群遅延は複数の周波数成分が重なり合った波（うなり）の「ピークの差」を表すと考えられます。群遅延は、信号に含まれる複数の周波数成分がフィルタを通過する際に、各周波数成分がどれだけ時間的に遅れるかを示すため、より実用的な指標となります。

フィルタ回路の設計においては、これらの遅延時間を考慮することが重要です。特に、広い周波数帯域にわたって信号を扱う場合には、群遅延が一定であること、つまり、すべての周波数成分が同じ時間だけ遅延することが望ましいです。群遅延が一定でない場合、信号の波形が歪んでしまい、情報が正確に伝達されない可能性があります。

その他の関連事項

• - 群速度：波束の包絡線が伝わる速度です。群遅延と密接な関係があります。
• - 位相速度：正弦波の位相が伝わる速度です。位相遅延と関連があります。

まとめ

フィルタ回路の遅延時間を評価する上で、位相遅延と群遅延はどちらも重要な指標です。位相遅延は特定の周波数における位相ずれを直接的に示しますが、位相の不定性から、フィルタ回路の特性評価には群遅延がより適しています。群遅延は、周波数変化に対する位相ずれの変化率を示し、信号に含まれる複数の周波数成分の遅延時間に着目した指標です。フィルタ回路設計においては、群遅延が一定になるように考慮することが、波形の歪みを防ぐ上で重要です。

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