ベッセルフィルタ

ベッセルフィルタは、電子工学や信号処理の分野で用いられる線形フィルタの一種です。その最大の特徴は、群遅延が最大限に平坦であること、つまり線形位相応答を示すことです。この特性から、特にオーディオ分野のクロスオーバー（高音域と低音域などを分離する回路）でよく利用されます。アナログのベッセルフィルタは、通過帯域においてほぼ一定の群遅延を示すため、入力された信号の波形を忠実に保ちながら伝達することができます。

このフィルタの名前は、ドイツの数学者フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルに由来しています。ベッセルフィルタは、特定の回路構成を指すものではなく、フィルタの応答特性を表す用語であるため、「ベッセルフィルタ特性」や「ベッセル特性」と呼ばれることもあります。

伝達関数

ベッセル・ローパスフィルタの伝達関数は、以下の式で表されます。


H(s) = \frac{1}{\theta_n(s/\omega_0)}


ここで、θn(s)は逆ベッセル多項式であり、これがフィルタの名前の由来となっています。また、ω0は遮断周波数を表します。

単純な例

3次ベッセル・ローパスフィルタの伝達関数は、具体的には次のようになります。


H(s) = \frac{1}{1 + 3s/\omega_0 + 3s^2/\omega_0^2 + s^3/\omega_0^3}


このフィルタの利得は以下の式で与えられます。


= \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_0)^6}}


また、位相は次のようになります。


\phi(\omega) = -\arctan\left(\frac{3(\omega/\omega_0) - (\omega/\omega_0)^3}{1 - 3(\omega/\omega_0)^2}\right)


そして、群遅延は次の式で表されます。


\tau_g(\omega) = -\frac{d\phi(\omega)}{d\omega} = \frac{3(1 + (\omega/\omega_0)^2)}{1 + 3(\omega/\omega_0)^2 + (\omega/\omega_0)^6}


この群遅延をテイラー展開すると、次のようになります。


\tau_g(\omega) = \frac{3}{\omega_0} \left(1 - \frac{1}{5}(\omega/\omega_0)^2 + \frac{1}{35}(\omega/\omega_0)^4 + ...\right)


ω=0のとき、ω²とω⁴の項がゼロになるため、非常に平坦な群遅延が得られます。伝達関数の分子を定数とし、分母を高々3次の多項式とすると、係数は全部で4つ存在します。ω=0で利得が変化しない条件と、ω=∞で利得がゼロになるという条件を課すと、自由度は残り2となります。3次ベッセルフィルタは、これらの条件下で群遅延が最大限に平坦になるように設計されています。一般的に、n次のベッセルフィルタの群遅延を展開すると、最初のn-1個の項がゼロになり、ω=0における群遅延の平坦性が最大化されます。

関連項目

バターワースフィルタ
コムフィルタ
チェビシェフフィルタ
楕円フィルタ
ベッセル関数

外部リンク

Bessel and Linear Phase Filters
A Bessel Filter Crossover, and Its Relation to Others
Bessel Filter Constants
Bessel Filter
Filter Circuits R.W. Erickson

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