自己相似過程

自己相似過程について

自己相似過程とは、ある確率過程が時間や空間スケールの変化に対して自己相似の性質を持つことを示す概念です。このプロセスは、そのスケールを拡大あるいは縮小しても、確率法則が変わらない性質を持っています。特に、自己相似過程には「H-ss過程」という名称があり、ここでの指数Hは自己相似性を表す重要なパラメータとして機能します。実際には、自己相似過程は統計的な自己相似性が成立する場合のみに正確に当てはまるため、こうした過程は「統計的自己相似過程」とも呼ばれます。さらに、数学者マンデルブロは、空間と時間のスケールにおいて比率が同じでない場合を指して「自己アフィン過程」と称しています。

定義

自己相似過程の定義にはいくつかのアプローチがあり、ここでは連続確率過程と離散確率過程について述べます。

連続確率過程

連続確率過程 {X(t)} が自己相似過程であるためには、以下の条件を満たす必要があります。次の式に示されるように、時刻 t の確率過程は、スケーリングされた時間における確率過程の定数倍、具体的には a^(-H) 倍等しいとされます。

$$
egin{aligned}
ext{もし } t & ext{ が時間であり、} t
eq 0,\ ext{ならば } {X(t)} & = d {a^{-H}X(at)}
ext{ここで、} \ H & ext{ は自己相似指数（0 < H < 1）とします。}
ext{また、} {Y} & = d {Z} ext{ は確率過程の分布が同一であることを指します。}
ext{このように }
ext{自己相似過程は時間的に拡大しても性質が維持されます。}
ext{、}
ext{で連続確率過程について述べました。}
ext{}
ext{では、次に離散確率過程について見てみましょう。}
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{とします。}
ext{管理する区間 } S ext{は、区間} S ext{において分割されます。}

ewline
$$

この条件を満たす離散確率過程の特徴を探るために、時系列を m 個の重複しない区間に分割し、区間 k における平均を計算する必要があります。これを次のように表現します。

$$
X^{(m)}(k) = rac{1}{m} ext{ で } ext{の合計を計算します。}
$$

このようにして、全ての m に対する条件は以下のようになります。

$$
X = d m^{1-H}X^{(m)}
$$

例

自己相似過程の代表的な例として以下のような確率過程が挙げられます：

• - 自己相似加法過程：全体に自己相似性を持つ加法的な振る舞いを示す過程。
• - 佐藤過程：自己分解可能な分布に該当し、自己相似加法過程の一種です。
• - α-安定レヴィ過程：この過程は定常増分を持ち、自己相似加法過程の中でも特別な意味を持ちます。
• - 非整数ブラウン運動：これは自己相似なガウス過程の一つで、特に自らの特性を持つ過程です。

自己相似過程は、様々な分野において重要な役割を果たし、特に自然界や金融市場などにおいてその特性を利用したモデリングが行われています。これらの過程を理解することで、より複雑な現象の理解へと繋がります。

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