自己記述数

自己記述数（Self-Descriptive Number）

自己記述数とは、数そのものが自身の構造を記述するという、非常にユニークな性質を持つ整数のことです。具体的には、ある数を構成する桁数とその計算の基数が一致し、さらに、その数の各桁の数字が、数の中に特定の数字がいくつ含まれているかを示すという二つの条件を満たすものを指します。

より詳しく説明しましょう。ある数 $m$ が自己記述数であるためには、まずその数の持つ桁数 $b$ が、その数を扱う際に用いる基数 $b$ と同じでなければなりません。そして、最も左の桁（これを0桁目とします）から順に、$n$ 桁目にある数字が、元の数 $m$ の中に数字 $n$ が何個含まれているかを正確に示している必要があります。

例：基数10における自己記述数

基数10（普段私たちが使う10進法）における自己記述数の代表例として、6210001000が挙げられます。

この数は10桁です。これは、計算の基数が10であることを示しており、第一の条件を満たしています。

次に、各桁の数字とその意味を確認します。

• - 0桁目（最も左）の数字は6です。これは、この数「6210001000」の中に数字の0が6個含まれていることを示しています。実際に数えてみると、確かに0は6個あります。
• - 1桁目の数字は2です。これは、数の中に数字の1が2個含まれていることを示しています。実際に数えてみると、1は2個あります。
• - 2桁目の数字は1です。これは、数の中に数字の2が1個含まれていることを示しています。実際に数えてみると、2は1個あります。
• - 3桁目の数字は0です。これは、数の中に数字の3が0個含まれていることを示しています。3は含まれていません。
• - 4桁目の数字は0です。数の中に数字の4は含まれていません。
• - 5桁目の数字は0です。数の中に数字の5は含まれていません。
• - 6桁目の数字は1です。これは、数の中に数字の6が1個含まれていることを示しています。6は1個あります。
• - 7桁目の数字は0です。数の中に数字の7は含まれていません。
• - 8桁目の数字は0です。数の中に数字の8は含まれていません。
• - 9桁目（最も右）の数字は0です。数の中に数字の9は含まれていません。

このように、全ての桁について、その桁の数字が示す「特定の数字の出現個数」が、実際に数の中に含まれる個数と一致しています。したがって、6210001000は基数10における自己記述数です。

存在と形式

自己記述数は全ての基数に存在するわけではありません。例えば、基数1、2、3、6においては自己記述数は存在しないことが知られています。一方、基数7以上の場合は、少なくとも一つの自己記述数が必ず存在することが証明されています。特に、基数 $b$ が7以上のとき、$0$ 番目の桁の数字が $b-4$、$1$ 番目の桁が $2$、$2$ 番目の桁が $1$、そして $b-4$ 番目の桁の数字が $1$ となり、それ以外の桁の数字はすべて $0$ となるような特定の値が、自己記述数となることが分かっています。この形式は、基数 $b$ が大きくなるにつれて現れる自己記述数の一族を示唆しています。

特性

自己記述数はいくつかの興味深い特性を持っています。

1. 数字和と基数の一致: 自己記述数を構成する全ての桁の数字を合計すると、必ずその数の基数と等しくなります。これは自己記述数の定義から直接導かれる性質です。各桁 $n$ の数字は、数に含まれる数字 $n$ の個数を表しているため、全ての桁の数字を合計するということは、数に含まれる全ての数字の総数を数えることになります。そして、その数字の総数は、もちろん数の桁数、すなわち基数に他ならないからです。
2. 基数の倍数であること: 自己記述数は必ずその基数の倍数となります。これは、自己記述数の末尾の桁（最も右、基数 $b$ においては $b-1$ 桁目）の数字が必ず0になることと同義です。この性質は、自己記述数の定義から数学的に証明できます。もし末尾の桁が0でないと仮定すると、その末尾の桁の数字は、数に含まれる数字 $b-1$ の個数を示すことになります。これにより、数字 $b-1$ が少なくとも1つ数に含まれていることになり、その $b-1$ が含まれる桁（例えば $k$ 桁目）の数字が1以上である必要が生じるなど、定義から導かれる数字の出現頻度に関する制約と矛盾が生じるためです。

この「基数の倍数である」という性質は、自己記述数が「ハーシャッド数」でもあることを意味します。ハーシャッド数とは、その数を構成する数字の和で割り切れる数のことですが、自己記述数の数字和は基数と等しいため、基数で割り切れる自己記述数は定義上ハーシャッド数となります。

自己記述数は、数と数の内部構造との間の自己参照的な関係を示す、数学における遊び心のある対象の一つと言えるでしょう。

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