虚円点

虚円点

虚円点（きょえんてん、英: circular points at infinity, cyclic points, isotropic points）は、射影幾何学の分野において登場する概念で、無限遠円点や単に虚点とも称されます。これは、複素数の範囲にまで座標を拡張した射影平面上にある、特定の性質を持つ二つの無限遠点です。これらの点の最も特筆すべき性質は、実数の係数を持つ平面上のあらゆる円が、複素数の拡張の下でこれら二つの点を必ず通過するという点にあります。この性質から、虚円点はユークリッド幾何学における円や角度といった概念を、より一般的な射影幾何学の枠組みの中で代数的に考察するための鍵となります。

座標表示

虚円点は、一般的に点の位置を表す際に用いられる均質座標（同次座標）(x : y : z) を用いると、簡潔な形で表現されます。複素数を用いて表現されるこれらの点の座標は、以下の二組として与えられます。

$(1 : i : 0)$

$(1 : -i : 0)$

ここで、$i$ は虚数単位であり、$i^2 = -1$ を満たします。これらの座標は、z = 0 が無限遠直線を表す平面において、特定の性質を持つ点、すなわち虚円点を指し示しています。

三線座標を用いた表現も可能ですが、こちらは基準となる三角形の内角 A, B, C を用いるため、より複雑な形となります。具体的な表現は以下のようになります。

$(-1 : \cos C - i\sin C : \cos B + i\sin B)$,
$(-1 : \cos C + i\sin C : \cos B - i\sin B)$

または

$(\cos C + i\sin C : -1 : \cos A - i\sin A)$,
$(\cos C - i\sin C : -1 : \cos A + i\sin A)$

または

$(\cos B + i\sin B : \cos A - i\sin A : -1)$,
$(\cos B - i\sin B : \cos A + i\sin A : -1)$

これらの異なる形式は、基準三角形に対する点の相対的な位置関係を示しています。

円との関連

平面上の円は、中心 $(x_0, y_0)$ と半径 $r$（これらは全て実数）を用いて $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$ という方程式で記述されます。この方程式を、複素数の範囲にまで解を許すように拡張し、さらに射影幾何学で扱うために同次座標を用いた線型方程式系の形に変換すると、円の方程式は一般に以下の形で表されます。

$Ax^2 + Ay^2 + 2B_1xz + 2B_2yz - Cz^2 = 0$

ここで係数 $A, B_1, B_2, C$ は全て実数です。驚くべきことに、先に述べた虚円点の座標 $(1 : i : 0)$ および $(1 : -i : 0)$ をこの方程式に代入すると、係数がどのような実数であっても（ただし $A
eq 0$）、この方程式が常に成り立つことが確認できます。この事実は、実数係数を持つ全ての円が複素射影平面上でこれらの2点を共通して通過することを示しています。

一般に、虚円点を通る代数曲線は円的（circular）であると呼ばれます。例えば、特定の性質を持つ三次曲線であるノイベルグ三次曲線は、この意味で円的三次曲線の一例として知られています。

性質と応用

虚円点は、幾何学的に見ると、特定の方向を持つ等方直線（isotropic line）と、射影平面上の無限遠直線（line at infinity）が交わる位置に存在します。また、これらの点はユークリッド変換、すなわち平面の回転や平行移動を施してもその位置が変わらないという重要な不変性を持っています。

さらに興味深い応用として、虚円点は射影幾何学の枠組みの中で角度の概念を定義する際に用いられます。二つの直線がなす角度は、これらの二直線と、虚円点を通過する直線によって形成される線束の複比（cross-ratio）の自然対数を用いて代数的に表現することが可能です。これは、ユークリッド幾何学的な角度という概念が、複素数の無限遠点という射影幾何学的な対象を通じて捉え直せることを示しており、幾何学理論の統合的な理解に貢献しています。

このように、虚円点は単なる抽象的な点ではなく、円の性質や角度といった基本的な幾何学的概念と射影空間を結びつける、非常に重要な役割を担っています。

もう一度検索