ノイベルグ三次曲線
ユークリッド幾何学において、ノイベルグ三次曲線は、特定の三角形に対して一意に定まる興味深い曲線です。この曲線は、19世紀末から20世紀初頭にかけて活躍したベルギーの数学者、シャルル・ノイベルグ（Charles Neuberg）にちなんで名付けられました。三角形の幾何学において多くの重要な点を含むことから、かつては「21点三次曲線」や、さらに多くの点が見つかった後には「37点三次曲線」とも呼ばれることがあります。幾何学に関するデータベース「Cubics in the triangle plane」では、識別コードK001として登録されています。
ノイベルグ三次曲線は、いくつかの異なる、しかし同値な方法で定義することができます。一つの定義は、三角形ABCにおける任意の点Pについて、点Pを辺BC、CA、ABに関して鏡映した点をそれぞれPa、Pb、Pcとするとき、3つの直線APa、BPb、CPcがただ一点で交わるような点P全体の軌跡として得られます。別の定義では、三角形BPC、CPA、APBの各外心をそれぞれOa、Ob、Ocとしたときに、直線AOa、BOb、COcが一点で交わるような点Pの軌跡として特徴づけられます。これらの幾何学的な条件を満たす点の軌跡が三次曲線になることは、初見では容易に理解できない性質です。
ノイベルグ自身は、点Pから三角形の各頂点A, B, Cまでの距離をAP, BP, CPとし、辺長をBC, CA, ABとして、以下の行列式がゼロになる点の軌跡としてこの曲線を定義しました。
{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&BC^{2}+AP^{2}&BC^{2}\times AP^{2}\\1&CA^{2}+BP^{2}&CA^{2}\times BP^{2}\\1&AB^{2}+CP^{2}&AB^{2}\times CP^{2}\end{vmatrix}}=0}
また、1925年には数学者B. H. ブラウンが、点Pとその等角共役点を結んだ直線が、三角形のオイラー線に平行になるような点Pの軌跡としてもノイベルグ三次曲線が得られることを示しました。
三角形ABCの辺長をa, b, cとし、曲線上の点の重心座標をx : y : zで表すと、ノイベルグ三次曲線は以下の等式を満たす点の集合となります。
{\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4}]x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}
この式は、変数x, y, zおよび辺長a, b, cに関してサイクリックな対称性を持っています。
ノイベルグ三次曲線は、三角形の幾何学における多くの著名な点を含むことで特に知られています。初期に発見された21点には、三角形の頂点A, B, C、それらを対辺で鏡映した点Aa, Bb, Cc、三角形の中心である垂心Hと外心Oが含まれます。さらに、特定の鏡映操作によって得られる点Da, Db, Dcや、三角形の各辺を一辺とする正三角形の外部および内部にできる頂点A', B', C', A'', B'', C''もこの曲線上にあります。また、三角形の有名な特異点である第一フェルマー点X(13)と第二フェルマー点X(14)、そして第一等力点X(15)と第二等力点X(16)もノイベルグ三次曲線上の点です。ブラウンの発見により、内心や傍心を含む16個の点が追加され、合計37点となりました。その後の研究でも、オイラー無限遠点や、ジェラベク双曲線と外接円の交点の一つX(74)、正三角形を生み出すチェバ三角形の中心X(370)、パリー鏡映点X(399)、ヴェルナウ点X(1337), X(1338)など、さらに多くの点がノイベルグ三次曲線上に存在することが明らかになっています。
ノイベルグ三次曲線は、その幾何学的性質からいくつかの重要な分類に属します。無限遠点にある虚円点を通ることから「circular cubic」の一種です。また、点Pとその等角共役点を結ぶ直線が特定の点Xを通るようなPの軌跡は「Xのpivotal isogonal cubic」と呼ばれますが、ノイベルグ三次曲線はオイラー線上の特別な点であるオイラー無限遠点のpivotal isogonal cubicに他なりません。さらに、「pivotal orthocubic」または「orthopivotal cubic」と呼ばれる種類の三次曲線でもあります。これは、点Pに関連する特定の直線の三線極と点Pがある特定の点Xと共線になるようなPの軌跡として定義されますが、ノイベルグ三次曲線はこの意味で三角形の外心のorthopivotal cubicとなっています。これらの性質は、ノイベルグ三次曲線が三角形の中心や他の曲線と密接に関連していることを示しています。
ノイベルグ三次曲線は、いくつかの異なる、しかし同値な方法で定義することができます。一つの定義は、三角形ABCにおける任意の点Pについて、点Pを辺BC、CA、ABに関して鏡映した点をそれぞれPa、Pb、Pcとするとき、3つの直線APa、BPb、CPcがただ一点で交わるような点P全体の軌跡として得られます。別の定義では、三角形BPC、CPA、APBの各外心をそれぞれOa、Ob、Ocとしたときに、直線AOa、BOb、COcが一点で交わるような点Pの軌跡として特徴づけられます。これらの幾何学的な条件を満たす点の軌跡が三次曲線になることは、初見では容易に理解できない性質です。
ノイベルグ自身は、点Pから三角形の各頂点A, B, Cまでの距離をAP, BP, CPとし、辺長をBC, CA, ABとして、以下の行列式がゼロになる点の軌跡としてこの曲線を定義しました。
{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&BC^{2}+AP^{2}&BC^{2}\times AP^{2}\\1&CA^{2}+BP^{2}&CA^{2}\times BP^{2}\\1&AB^{2}+CP^{2}&AB^{2}\times CP^{2}\end{vmatrix}}=0}
また、1925年には数学者B. H. ブラウンが、点Pとその等角共役点を結んだ直線が、三角形のオイラー線に平行になるような点Pの軌跡としてもノイベルグ三次曲線が得られることを示しました。
三角形ABCの辺長をa, b, cとし、曲線上の点の重心座標をx : y : zで表すと、ノイベルグ三次曲線は以下の等式を満たす点の集合となります。
{\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4}]x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}
この式は、変数x, y, zおよび辺長a, b, cに関してサイクリックな対称性を持っています。
ノイベルグ三次曲線は、三角形の幾何学における多くの著名な点を含むことで特に知られています。初期に発見された21点には、三角形の頂点A, B, C、それらを対辺で鏡映した点Aa, Bb, Cc、三角形の中心である垂心Hと外心Oが含まれます。さらに、特定の鏡映操作によって得られる点Da, Db, Dcや、三角形の各辺を一辺とする正三角形の外部および内部にできる頂点A', B', C', A'', B'', C''もこの曲線上にあります。また、三角形の有名な特異点である第一フェルマー点X(13)と第二フェルマー点X(14)、そして第一等力点X(15)と第二等力点X(16)もノイベルグ三次曲線上の点です。ブラウンの発見により、内心や傍心を含む16個の点が追加され、合計37点となりました。その後の研究でも、オイラー無限遠点や、ジェラベク双曲線と外接円の交点の一つX(74)、正三角形を生み出すチェバ三角形の中心X(370)、パリー鏡映点X(399)、ヴェルナウ点X(1337), X(1338)など、さらに多くの点がノイベルグ三次曲線上に存在することが明らかになっています。
ノイベルグ三次曲線は、その幾何学的性質からいくつかの重要な分類に属します。無限遠点にある虚円点を通ることから「circular cubic」の一種です。また、点Pとその等角共役点を結ぶ直線が特定の点Xを通るようなPの軌跡は「Xのpivotal isogonal cubic」と呼ばれますが、ノイベルグ三次曲線はオイラー線上の特別な点であるオイラー無限遠点のpivotal isogonal cubicに他なりません。さらに、「pivotal orthocubic」または「orthopivotal cubic」と呼ばれる種類の三次曲線でもあります。これは、点Pに関連する特定の直線の三線極と点Pがある特定の点Xと共線になるようなPの軌跡として定義されますが、ノイベルグ三次曲線はこの意味で三角形の外心のorthopivotal cubicとなっています。これらの性質は、ノイベルグ三次曲線が三角形の中心や他の曲線と密接に関連していることを示しています。
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