行列値関数

行列値関数：行列を変数とする特殊関数の世界

行列値関数とは、行列をその変数として扱う特殊関数の総称です。通常の特殊関数は、ガンマ関数などを除き、多くの場合、微分方程式の解、特に可積分系の厳密解として定義されます。しかし、行列値関数の定義はこれとは異なります。

行列値関数の定義：多項式近似からベキ級数展開へ

まず、複素数n×n行列の集合を\(\mathbb{C}^{n\times n}\)と表し、複素数から複素数への関数\(f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}\)が与えられているとします。このとき、\(f(A)\)（Aは\(\mathbb{C}^{n\times n}\)の元）に、行列としての意味を与えるにはどうすれば良いでしょうか？

最も単純な例として、多項式関数の場合を考えてみましょう。

\(f(z) = c_0 + c_1z + \cdots + c_mz^m\)

この場合、\(f(A)\)は自然に以下のように定義できます。

\(f(A) = c_0I + c_1A + \cdots + c_mA^m\)

ここで、Iは単位行列です。この考え方を拡張することで、ベキ級数展開可能な関数

\(f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} c_kz^k\)

に対しても、

\(f(A) = \sum_{k=0}^{\infty} c_kA^k\)

と定義することができます。ただし、行列の無限級数の収束を適切に定義する必要があります。

例えば、行列指数関数、行列正弦関数、行列余弦関数は、以下のようになります。

\(\exp(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}A^k\)

\(\sin(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}A^{2k+1}\)

\(\cos(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!}A^{2k}\)

ベキ級数展開を持たない関数の場合は、Lagrange-Sylvester多項式を用いて\(f(A)\)を定義します。

代表的な行列値特殊関数

行列値関数として、様々な特殊関数の行列バージョンを考えることができます。例えば、ガンマ関数、エアリー関数、ベッセル関数、直交多項式、超幾何級数など、そしてそれらのq類似についても行列バージョンが定義されています。

q-ポッホハマー記号の行列バージョンは、以下のように定義できます。

\((A;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1}(I - Aq^k)\)

\((A;q)_\infty = \lim_{n\to\infty}(A;q)_n, \quad |q| < 1\)

これを使って、q-ガンマ関数の行列バージョンも定義できます。

\(\Gamma_q(A) = (q;q)_\infty (q^A;q)_\infty^{-1}(1-q)^{I-A}, \quad |q|<1\)

工学における重要性と研究

行列値関数は、常微分方程式の数値解法（例えば、指数積分法）、統計学など、様々な工学分野で重要な役割を果たします。そのため、数値線形代数の研究者たちは、行列値関数の高精度計算や精度保証付き数値計算の研究に積極的に取り組んでいます。

主な研究対象となる行列値関数は、行列指数関数、行列の平方根、行列の三角関数、行列の実数乗、行列の対数、行列のガンマ関数、行列の超幾何級数などです。

関連分野としては、行列解析（線形代数学の一分野）や数値線形代数があり、クリーブ・モラーやニコラス・ハイアムといった研究者たちが大きな貢献をしています。

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