ベッセル関数

ベッセル関数

ベッセル関数は、数学者ダニエル・ベルヌーイによって最初に定義され、フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルにちなんで名付けられた特殊関数です。円筒関数とも呼ばれ、様々な物理現象の解析に用いられます。

定義

ベッセル関数は、以下のベッセルの微分方程式の解として定義されます。


x^2 (d^2y/dx^2) + x (dy/dx) + (x^2 - α^2) y = 0


ここで、`α` はベッセル関数の次数と呼ばれる実数です。特に、`α` が整数の場合が重要となります。

ベッセル関数の種類

ベッセル関数には、主に以下の種類があります。

第1種ベッセル関数 (Jα(x))
ベッセルの微分方程式の解であり、`x = 0` で有限の値を取ります。
テイラー展開によって定義することも可能です。
整数次数の場合、`-n` に対して線形従属となります。
第2種ベッセル関数 (Yα(x))
ノイマン関数とも呼ばれ、`x = 0` で特異性を持ちます。
第1種ベッセル関数と線形独立な解を与えます。
ハンケル関数 (Hα(1)(x), Hα(2)(x))
第1種および第2種ベッセル関数の線形結合で表されます。
円筒波の伝播の解を表現する際に用いられます。
変形ベッセル関数 (Iα(x), Kα(x))
`x` が純虚数の場合に重要な関数です。
変形されたベッセルの微分方程式の解となります。
球ベッセル関数 (jα(x), nα(x))
第1種および第2種ベッセル関数から定義されます。
球ベッセル微分方程式の解を与えます。
球ハンケル関数 (hα(1)(x), hα(2)(x))
球ベッセル関数の線形結合で表されます。
量子力学における井戸型ポテンシャルの解析に用いられます。
変形球ベッセル関数 (iα(x), kα(x))
変形ベッセル関数から定義されます。
変形球ベッセル微分方程式の解を与えます。

応用

ベッセル関数は、ラプラス方程式やヘルムホルツ方程式の円柱座標系および極座標系における分離解として現れます。このため、電磁波、熱伝導、流体解析、音響学など、様々な物理現象の解析に不可欠です。具体的な応用例としては、以下のものが挙げられます。

円筒導波管における電磁波の解析
円柱物体の熱伝導の解析
薄い円膜の振動モードの解析
FM合成
カイザー窓やベッセルフィルタの設計

超幾何級数との関係

ベッセル関数は、超幾何級数を用いて表現することもできます。


Jν(z) = ((z/2)^ν / Γ(ν + 1)) * 0F1(ν + 1; -z^2/4)

積分表示

ベッセル関数は、様々な積分表示を持つことが知られています。これらの積分表示は、ベッセル関数の性質を調べる上で有用です。

漸近展開

`|z| → ∞` のとき、ベッセル関数は以下の漸近形を持ちます。

(具体的な漸近形の数式)

まとめ

ベッセル関数は、物理学や工学の多くの分野で現れる重要な特殊関数です。この記事では、ベッセル関数の定義、種類、応用について解説しました。さらに深く学ぶためには、参考文献や外部リンクを参照してください。

もう一度検索