複体

単体複体

単体複体（simplicial complex、しばしば単に複体とも）は、代数的位相幾何学において空間の構造を組み合わせ論的に捉えるための基本的な概念です。点、線分、三角形、四面体といった「単体」と呼ばれる基本的な図形要素を、特定の規則に従って貼り合わせることで構成されます。これは、複雑な図形や空間をより単純な構成要素に分解し、その結合関係を通じて全体の構造を分析する手法を提供します。

単体複体と混同されやすい概念に「単体集合」がありますが、これらは区別されるべきものです。単体集合は、単体複体を圏論的な視点から抽象化したものであり、より一般的な構造を扱います。一方、単体複体はその幾何学的な側面とともに、各単体がそれを構成する頂点の集合によって一意に定まるという性質から、頂点の集合とその部分集合の族として、組み合わせ論的に表現することが可能です。このように組み合わせ論的に記述された複体は、特に抽象単体複体と呼ばれます。

定義

単体複体は、有限個の単体からなる集合 $K$ が、以下の二つの条件を満たすものとして定義されます。

1. $K$ に含まれる単体 $a$ の任意の面（部分単体）$c$ もまた、$K$ に含まれていなければならない。
2. $K$ に含まれる任意の二つの単体 $a$ と $b$ が共通部分を持つ場合、その共通部分は必ず $a$ の面であると同時に $b$ の面でもなければならない。

これらの条件は、単体複体が単体の階層構造（単体とその面）と、単体同士の整合性のある結合関係を持っていることを保証します。

順序集合としての定義

抽象単体複体は、順序集合としても定義されることがあり、これは組み合わせ論的な定義と等価であることが知られています。この定義では、ある種の性質（特定の要素以下の順序構造が、ある有限集合のべき集合と順序同型になる）を持つ要素からなる順序集合で、さらに任意の二要素の下限が存在するという条件を満たすものが単体複体とされます。

例

簡単な例として、平面上の正方形を考え、その対角線を一本引いて二つの三角形に分割した図形を考えてみましょう。この図形は二つの三角形（それぞれが2単体）から構成されます。これらの二つの三角形の共通部分は、引かれた対角線（1単体）です。この対角線は、それぞれの三角形にとっての辺、すなわち面となっています。この図形を構成する単体（二つの三角形、それらの辺である対角線や他の三辺、そして四つの頂点）をすべて集めた集合は、上記の単体複体の二つの条件を満たします。したがって、この図形は単体複体と見なすことができます。

関連概念

頂点と面

単体複体内の二つの単体 $a, b$ について、$a$ が $b$ の部分単体であるとき、$a$ は $b$ の「面」（face）であると言います。この面であるという関係は順序構造を定めます（これを面関係と呼びます）。この面関係において、（空集合を除いて）極小な要素が単体の「頂点」として特徴づけられます。

単体写像

二つの単体複体の間の構造を保つ写像を単体写像といいます。これは、一方の複体の頂点をもう一方の複体の頂点に写す写像であって、元の複体の単体を構成する頂点の集合が、写像先の複体の単体を構成する頂点の集合に対応するように、単体構造を保つものです。単体写像とその逆写像がともに単体写像である場合、二つの複体は単体同型であるといいます。

多面体（Polyhedron）

単体複体 $K$ が持つ組み合わせ論的な構造を一旦忘れて、それを単なるユークリッド空間内の図形と見なしたものを、特に $|K|$ と表し、多面体と呼びます。重要な定理として、二つの単体複体が単体同型であれば、それに対応する多面体は位相同型になるというものがあります。この定理は、連続的な変形によって移り合う図形（位相同型な図形）の分類という位相幾何学の課題に対して、組み合わせ論的な手法（単体複体とその間の単体同型を調べること）を用いる道を開きました。

関連する概念として、抽象単体複体、鎖複体、CW複体、胞複体などがあります。これらは位相空間を組み合わせ論的または代数的に扱うための様々な手法に関連しています。

もう一度検索