複素数の絶対値

複素数の絶対値：定義と性質

複素数の絶対値は、複素数平面上の原点からの距離として定義される重要な概念です。実数の絶対値を複素数へ拡張したものであり、複素解析において様々な定理や概念を展開する上で基礎となります。

定義:

複素数 z = a + bi （a, b は実数、i は虚数単位）の絶対値 |z| は、以下の式で定義されます。

= √(a² + b²)

幾何学的には、複素数 z を複素数平面上の点 (a, b) とみなすと、|z| は原点 (0, 0) と点 (a, b) とのユークリッド距離に相当します。これはピタゴラスの定理から直ちに導かれます。

代数的な定義:

代数的には、複素数の絶対値は、実数の絶対値を拡張した乗法的ノルムとして定義できます。関数 | |: ℂ → ℝ は以下の性質を満たします。

1. 非負性: |z| ≥ 0 （任意の複素数 z について）
2. 非退化性: |z| = 0 ⇔ z = 0
3. 乗法性: |z₁z₂| = |z₁||z₂| （任意の複素数 z₁, z₂ について）
4. 三角不等式: |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| （任意の複素数 z₁, z₂ について）

これらの性質は、複素数の絶対値の持つ重要な特徴であり、様々な定理の証明や解析に利用されます。三角不等式は特に、複素数列の収束性を議論する際に重要になります。

複素数の絶対値の幾何学的解釈:

複素数 z を極座標表示すると、z = r(cosθ + i sinθ) と表せます。ここで、r は z の絶対値 |z| に等しく、θ は z の偏角です。この表現を用いることで、複素数の絶対値は、複素数平面上の点の原点からの距離として視覚的に理解できます。

複素数の絶対値の性質の証明:

複素数の絶対値の性質、特に乗法性と三角不等式は、複素数の極形式表示や三角関数の性質を用いて証明できます。例えば、乗法性については、複素数の極形式表示を用いて、それぞれの絶対値の積が元の複素数の積の絶対値に等しいことを示せます。三角不等式は、コーシー・シュワルツの不等式などを用いて証明できます。

応用:

複素数の絶対値は、複素解析において非常に重要な役割を果たします。複素関数論、複素数列の収束性、複素積分など、様々な分野で活用されます。例えば、複素関数の連続性や微分可能性を議論する際に、絶対値を用いたイプシロン-デルタ論法が用いられます。また、複素数列の収束性に関しても、絶対値を用いて厳密な定義が与えられます。

歴史的背景:

複素数の絶対値の概念は、実数の絶対値の概念を拡張したものです。幾何学的な表現を用いた虚数の表現に関する議論の中で、Jean-Robert Argandによって、複素数の絶対値（module）という概念が導入されました。

まとめ:

複素数の絶対値は、複素数平面上の原点からの距離として定義される重要な概念です。その代数的な性質と幾何学的な解釈を理解することで、複素解析における様々な問題を解決する上で強力なツールとなります。特に、乗法性、三角不等式、そして非負性、非退化性は、複素数の絶対値を特徴づける重要な性質であり、複素解析の基礎を成しています。

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