角運動量演算子

量子力学における角運動量演算子

量子力学において、角運動量演算子は極めて重要な役割を果たす演算子です。これは古典力学における角運動量と類似した性質を持つ一方で、量子力学特有の性質も持ち合わせています。本稿では、角運動量演算子の基本的な性質、種類、そして関連する概念について解説します。

角運動量の基礎

古典力学において、角運動量は物体の回転運動を表す物理量です。質点の質量、速度、回転の中心からの距離によって決定されます。一方、量子力学では、角運動量は演算子として表現され、その固有値が観測可能な物理量となります。量子力学の角運動量は、線形運動量やエネルギーと並んで、系の運動状態を記述する基本的な物理量の1つです。

角運動量の種類

量子力学における角運動量は、大きく分けて以下の3種類があります。

全角運動量 (J): 系全体の角運動量を表します。軌道角運動量とスピン角運動量の合成によって決まります。
軌道角運動量 (L): 粒子が空間中を運動することによって生じる角運動量です。これは粒子の位置と運動量から計算されます。水素原子などの原子模型において、電子の軌道運動を記述する際に用いられます。
スピン角運動量 (S): 粒子の内部自由度による角運動量です。これは粒子の空間的な運動とは無関係に存在する固有の角運動量で、電子のスピンなどがその例です。

しばしば「角運動量演算子」という用語が使われますが、これは文脈によって全角運動量や軌道角運動量を指す場合があります。混乱を避けるため、文脈を注意深く確認する必要があります。

角運動量の保存則

系の対称性と保存則の関係はネーターの定理によって示されます。回転対称性を持つ系では、全角運動量は保存されます。つまり、系の全角運動量は時間的に変化しません。これは量子力学において非常に重要な性質であり、多くの問題を解く上で活用されます。

関連概念

角運動量演算子と密接に関連する概念には以下のようなものがあります。

ルンゲ-レンツベクトル: ケプラー問題（中心力ポテンシャル下での運動）において、軌道の形と向きを記述するベクトルです。水素原子模型の解法に用いられます。
ホルシュタイン–プリマコフ変換: スピン演算子をボソン演算子で表現する変換です。多体系の計算を簡略化するために用いられます。
原子のベクトルモデル: 原子の電子配置と角運動量をベクトルを用いて図示するモデルです。電子の軌道とスピンの角運動量の合成を理解する上で有用です。
パウリ–ルバンスキ擬ベクトル: 相対論的な量子力学において、角運動量とスピンから構成される擬ベクトルです。
角運動量ダイアグラム: 量子力学における角運動量の合成や選択則を図示するものです。
球面テンソル: 回転に対して特定の変換性を持つテンソルです。角運動量演算子と密接に関連しています。
テンソル演算子: 回転に対して特定の変換性を持つ演算子です。角運動量演算子の表現に用いられます。
軌道磁化: 電子の軌道運動によって生じる磁気モーメントです。

参考文献

Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546-9
Quantum mechanics, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum’s Easy Oulines Crash Course, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 007-145533-7, ISBN 978-007-145533-6
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