ネーターの定理

ネーターの定理：対称性と保存則の深いつながり

物理学において、ネーターの定理は、系の持つ連続的な対称性と、それに対応する保存則との間に密接な関係があることを示す、非常に重要な定理です。1915年に証明され、1918年に発表されたこの定理は、ドイツの数学者エミー・ネーターによって確立されました。解析力学や場の量子論といった、現代物理学の多くの分野で基礎的な役割を果たしています。

ネーターの定理の概要

簡単に言うと、ネーターの定理は「物理系の記述が、ある変換に対して不変である（対称性を持つ）ならば、その変換に対応する保存則が存在する」というものです。例えば、時間並進対称性（物理法則が時間に依存しないこと）はエネルギー保存則に対応し、空間並進対称性（物理法則が位置に依存しないこと）は運動量保存則に対応します。

この定理の意義は、単に保存則の存在を示すだけでなく、対称性と保存則を直接結びつけることで、物理系の理解を深める点にあります。対称性を調べることで、どのような保存則が成り立つかを予測できるため、物理法則の探求において強力なツールとなります。

解析力学におけるネーターの定理

解析力学では、ラグランジアンを用いて系の運動を記述します。ネーターの定理は、ラグランジアンが特定の変換に対して不変である場合、それに対応する保存量が存在することを示します。

ラグランジュ形式

一般化座標 `q=(q1,…,qn)` とラグランジアン `L(q,dq/dt)` を用いて、作用積分 `S` を定義します。この作用積分がある連続的な変換に対して不変であれば、保存則が導かれます。この変換は、いくつかのパラメータの線形結合で表現でき、それぞれの変換パラメータに対して保存量が一つずつ存在します。これらの保存量は、変換によって生じるラグランジアンの変化が作用積分の変分を通して保存則につながるという性質から導出されます。

ハミルトニアン形式

ハミルトニアン形式では、系の状態を一般化座標 `q` と一般化運動量 `p` で記述します。ハミルトニアン `H(q,p)` がある微小変換に対して不変であれば、その変換の生成子 `Gδ` は時間的に不変となり、保存量となります。この生成子は、微小変換による `(q,p)` の変化を生成する関数として定義されます。保存量 `Gδ` は、ハミルトニアンとポアソン括弧を用いて表現され、その時間微分がゼロになることから保存則が導かれます。ポアソン括弧は、二つの力学量の間に定義される演算で、一方の力学量がもう一方の力学量の変化をどのように生成するかを表します。ネーターの定理のこの表現では、ある力学量 A が別の力学量 B の生成する流れに対して不変であれば、BもAの流れに対して不変であるという、対称性が相互である性質を示しています。

場の理論におけるネーターの定理

場の理論では、系を記述する変数は空間と時間に依存する場 `ϕ(x)` です。ネーターの定理は、作用積分 `S` がある連続的な変換に対して不変であれば、ネーターカレント `jμ` が保存し、連続の方程式 `∂μjμ=0` を満たすことを示します。このネーターカレントは、場の変換と座標変換の両方を含みます。

ネーターカレントの時間成分を空間積分したものは、ネーターチャージと呼ばれ、保存量を表します。特に、変換がパラメータの線形結合で表される場合、それぞれの変換パラメータに対応してネーターカレントとネーターチャージが存在します。

例：エネルギー、運動量、角運動量、電荷保存則

時空の並進対称性（物理法則が空間と時間に依存しないこと）からはエネルギー運動量テンソルが導かれ、エネルギーと運動量の保存則が得られます。ローレンツ変換（時空の回転とブースト）からは角運動量密度が導かれ、角運動量の保存則が得られます。位相変換（場の位相を変える変換）からは電流密度が導かれ、電荷の保存則が得られます。

まとめ

ネーターの定理は、物理系の対称性と保存則の間に存在する深遠な関係を示す、物理学における極めて重要な定理です。様々な物理系に適用可能で、その応用範囲は広く、現代物理学の基礎をなす概念の一つとなっています。 ラグランジュ形式やハミルトニアン形式、そして場の理論における記述を通して、対称性と保存則のつながりを深く理解することが重要です。この定理は、物理法則の探求において強力な指針となるだけでなく、物理現象を理解するための重要な概念を提供しています。

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