解析教程 (コーシーの著書)

オーギュスタン＝ルイ・コーシーが1821年に発表した著書『フランス王立工科大学における解析教程 第一部 代数的解析学』、通称『解析教程』は、無限小計算を基礎とした初等解析学の分野に多大な影響を与えた歴史的な教科書です。

本書の序文において、コーシーは関数の連続性を論じるにあたり、無限小の原理的な性質が無限小微分積分学の基礎となることを示唆しています。また、議論の方法論としては、幾何学が要求する水準の厳密性を満たすことを目指し、抽象的な代数の一般論に依存しない姿勢を明確にしています。

序論では、まず「変量」という概念を扱った後、解析学における根幹となる「極限」の考え方を導入します。コーシーによれば、極限とは「ある変化量が取る値が、ある一定の値に限りなく近づき、最終的にその差がどんなに小さくもできるようなとき、この一定の値」と定義されます。これは、現代のε-δ論法に通じる厳密さへの第一歩を示唆するものでした。さらに、変量が限りなく減少し、その絶対値がどんな正の値よりも小さくなる状態にあるとき、その変化量を「無限小」と名付けています。無限小は、定義上、極限が0であるような変化量として捉えられています。

解析学の議論を進める上で不可欠な極限の記法についても触れられており、本書の第12頁で「lim」という記号が導入されています。この記法自体は、コーシーに先立つリュイリエが「Lim.」として用いたものを、コーシーがピリオドなしの「lim」へと発展させたものです。

第2章は「無限小量・無限大量と関数の連続性」という長い表題を持ち、これらの概念をさらに掘り下げています。ここでは、変化量が「無限に小さくなる」とは、その値が減少し続けて極限として0に収束することを指すと改めて定義されています。無限小の具体的な例として、特定の順序で0に収束する数列が挙げられています。さらに興味深いのは、無限小にも「大きさの程度」、すなわち「位数」があるとした点です。ある無限小量をαとしたとき、その自然数冪（α, α², α³, ...）をそれぞれ第一位、第二位、第三位といった具合に定義しました。そして、位数nの無限小量が、αⁿに定数や1に収束する因子を掛けた形で表されることを指摘しています。

第2章の一部である§2.2は「関数の連続性」と題され、その核心的な定義が提示されています。関数f(x)がある点で連続であるとは、xにごく小さな増加量αを与えたときの関数の変化量 f(x+α) - f(x) が、αが限りなく小さくなるときに常に無限小となること、と定義しています。これは、現代的な連続性の定義の祖形となるものです。この章では、連続関数に関する重要な性質として中間値の定理も述べられています。

本書の第6章§1にある「和の定理」も特筆すべき内容です。この定理は、各項が特定の点において連続関数である級数について、その級数が収束するならば、その和もまたその点において連続関数となることを示しています。これは、関数項級数の収束と連続性の関係を扱った初期の重要な結果です。

『解析教程』は、当時の不十分な厳密さに基づいていた解析学に、極限や無限小といった概念を通じてより厳密な基礎を与えようとするコーシーの試みを体現した著作であり、その後の解析学の発展に計り知れない影響を与えました。特に、連続性の定義や無限小の位数の概念は、その後の数学者たちによる解析学の基礎付けへとつながっていきました。

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