論理和の導入

論理和の導入

論理和の導入（ろんりわのどうにゅう、英: Disjunction introduction）は、命題論理において重要な推論規則の一つです。この規則は、選言導入則または∨-導入則とも呼ばれます。論理和の導入を用いることで、証明の中で既存の命題から新しい論理和（「または」を意味する記号 ∨）を含む命題を導くことができます。

概要

基本となる考え方は非常にシンプルです。もし命題「P」が真であれば、「PまたはQ」という命題もまた真であると結論付けられます。ここで「Q」は任意の命題を表します。例えば、「ソクラテスは人間である」という命題が真であるとわかっていれば、「ソクラテスは人間である、または豚が英仏海峡上空を編隊飛行している」という命題も真であると結論付けることができます。たとえ、後者の命題が現実離れした内容を含んでいたとしても、論理的には正しい推論となります。

形式的な表現

論理和の導入規則は、以下のように形式的に記述されます。


P
∴ P ∨ Q


この表現は、もし証明のどこかの段階で命題「P」が導出されていれば、次の段階で「P ∨ Q」を導くことができるということを意味しています。ここで、「∴」は「したがって」を意味し、「∨」は論理和を表します。また、Qは任意の命題です。

シークエント記法

シークエント記法では、論理和の導入規則は次のように表されます。


P ⊢ (P ∨ Q)


この記法では、「⊢」は「論理的帰結」を表し、命題「P」が真であれば、命題「P ∨ Q」が真であることが論理的に帰結することを示しています。

トートロジーとしての表現

論理和の導入規則は、命題論理におけるトートロジー（恒真式）としても表現できます。


P → (P ∨ Q)


この表現は、「Pならば、PまたはQである」という意味であり、この命題が常に真であることを示しています。ここで「→」は含意を表します。

注意点

論理和の導入規則は、古典論理においては基本的な推論規則として広く受け入れられています。しかし、矛盾許容論理の立場では、この規則を無条件に認めることには注意が必要です。矛盾許容論理では、矛盾から任意の命題が導かれる爆発律を認めないため、論理和の導入規則と他の規則の組み合わせによっては、望ましくない結果が生じる可能性があります。

まとめ

論理和の導入は、命題論理において非常に基本的な推論規則です。この規則を用いることで、既存の命題から新しい論理和を含む命題を導き出すことができます。形式的な表現やシークエント記法、トートロジーとしての表現を通じて、この規則の正確な意味を理解することが重要です。ただし、矛盾許容論理のような特殊な論理体系では、この規則の適用に注意が必要な場合があることを覚えておきましょう。

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