負の確率

負の確率と擬確率の理論と応用

負の確率や擬確率は、確率論の中でも特異な概念であり、数理物理学や量子力学、さらには最近では金融工学においても応用されています。基本的に、確率は非負である必要がありますが、これらの概念が登場することで、観測不能な事象や条件付き確率に対する新たな視点を与えています。

負の確率の歴史

負のエネルギーや負の確率という概念は、1942年にポール・ディラックが発表した論文「量子力学の物理的解釈」において初めて触れられました。当時は理解しがたいものでしたが、その後、物理学界において特に注目を集めるようになりました。リチャード・ファインマンなどの著名な物理学者もこのテーマについて言及し、例え話として、負のリンゴは物理的には存在しないが、負の金額は経済的には意味があるという形で議論を展開しました。ファインマンはさらに、負の確率が確率が1を超える場合の計算に役立つ可能性があると指摘しています。

擬確率分布とその適用例

擬確率分布は、観測不能な事象に適用される分布であり、特に数理物理の文脈では興味深いものです。2005年には、G.J.セーケイが提案した「半分のコイン」の例が有名です。これは無限の側面を持ち、正の偶数が出現する際には、負の確率を使用します。このコインを二枚投げると、その結果は確率1/2で0か1と一致し、普通のコインを一枚投げた場合と同様の結果を得られるのです。

さらに、ルージャとセーケイは、「非負定義関数の畳み込み係数」と「代数確率論」の研究を通じて、確率変数Xが負の確率を含む場合、Xが他の二つの独立した確率変数YとZの差分として考えられることを示しました。これによって、Xの負の部分が誤差Yにより隠れることが理解されています。

ウィグナー関数の重要性

他の興味深い例として、ユージン・ウィグナーが1932年に提案したウィグナー関数があります。これは量子光学と直接関連があり、位相空間上の擬確率分布として知られています。1945年には、バートレットがウィグナー分布の負の値に対する数理論理的矛盾がないことを確認しました。ウィグナー関数は量子干渉を視覚的に示すツールとして広く利用されており、観測が難しい領域における量子現象を理解する助けとなります。

数理ファイナンスにおける応用

最近では、負の確率が数理ファイナンスの分野でも利用されるようになっています。エスペン・ガーダー・ハウグは2004年に、負の確率が計算を単純化できる可能性を指摘しました。通常、ファイナンスではリスクニュートラル確率のみが考慮されますが、この新たな視点はオプション評価の方法にも影響を与えています。2011年には、バーギンとマイスナーが负の確率の数学的な定義や特性を詳述する論文を発表し、このトピックに関する理解を深めました。

結論

負の確率と擬確率は、一般的な確率論の枠を越えた興味深い現象を探求するための重要なツールです。特に量子力学や近代金融の領域において、これらの概念はしばしば驚くべき結果や洞察をもたらすことがあります。今後もこの研究分野は更なる発展を遂げることでしょう。

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