輪積

輪積の定義と性質

輪積（wreath product）は、群論において非常に特異で有用な構造です。2つの群AとHが与えられたとき、輪積はこれらを使って新しい群を構成する方法です。特に、Hがある集合Ωの上で作用する場合、その輪積は記号A WrΩ HまたはA wrΩ Hで表記されます。

輪積の基本的な構造

輪積は、半直積の概念に基づいています。まず、集合Ωに基づいて、群Aの無限個のコピーを結合したKを定義します。Kは以下のように表されます。

$$ K ext{ } ≡ ext{ } igoplus_{ ext{ω} ext{ } ext{∈} ext{ } Ω} A_{ ext{ω}} $$

ここで、各ωはΩの元を表し、Aの元がそれに従って列を形成します。この列に対してHの作用は、次のように拡張されます。

$$ h(a_{ ext{ω}}) ≡ a_{h^{-1} ext{ω}} $$

この作用により、Kの各元がHによってどのように変換されるかが定義されます。非制限輪積A WrΩ HはこのKとHの半直積であり、一方の制限輪積A wrΩ HはKの直和に基づきます。

特殊な場合の輪積

群Hが対称群である場合は特に重要です。そのとき、A Wr HおよびA wr Hは正則輪積として示され、構造がシンプルになります。また、記法の違いに注意する必要があります。

記法と慣習

輪積の記法は文献によって異なる場合があります。例えば、A ≀Ω Hが非制限輪積とされることもあれば、制限輪積として利用されることもあります。特にHが対称群の場合、文献によく登場するのがΩの添字が省かれる記法です。これは、対称群の特性を利用した結果とも言えます。

性質について

群が有限直積の場合、有限直和とも一致するため、Ωが有限集合であれば、非制限輪積と制限輪積は等しくなります。また、制限輪積は常に非制限輪積の部分群となります。群GがAのHによる拡大である場合、非制限輪積の部分群として同型なものが存在することが普遍埋め込み定理によって保証されています。

標準的な作用

群Aが集合Λに作用しているならば、この構造を用いて輪積A WrΩ HおよびA wrΩ Hの作用する集合を2つの標準的な方法で構成できます。一つはΛ × Ω上への非原始的輪積作用、もう一つはΛΩ上への原始的輪積作用です。

例

1. ランプライター群: 制限輪積ℤ2 ≀ ℤ.
2. 一般化された対称群: ℤm ≀ Snはn-次対称群の作用を持つ。
3. 超八面体群: S2 ≀ Sn における特別な場合。
4. ルービックキューブ群: 輪積の直積の部分群として位置付けられる。

これらの例は、輪積が持つ多様な構造的性質を示しており、それらが置換群の研究や群論の他の分野での応用に使用されることを示しています。

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