逆平行線

幾何学における逆平行（ぎゃくへいこう、英: antiparallel）とは、二つの直線が別の直線（横断線）と交わる際に形成される角度に関する特殊な関係を指す用語です。

最も基本的な定義としては、二つの直線l1とl2が横断線mによって切られたとき、横断線を挟んで向かい合う側の交差角の大きさが等しい状態を「逆平行である」と表現します。これは、横断線に対するそれぞれの直線の相対的な向きが、ある意味で鏡像の関係になっていると捉えることができます。より広義には、二つの直線m1とm2がなす角の二等分線に対して、別の二つの直線l1とl2が対称であるとき、l1とl2はm1とm2に対して逆平行であると言われます。この幾何学的な関係性は、文脈によって反平行（はんへいこう）や対平行（ついへいこう）とも呼ばれます。

逆平行の概念は、様々な図形が持つ固有の性質を説明する上で頻繁に現れます。例えば、円に内接する四角形を考える場合、その向かい合う一組の対辺は、残りの一組の対辺に対して常に逆平行な関係を保ちます。この事実は、円に内接する四角形の角度に関する重要な性質の一つであり、円周角の定理などと関連して理解されます。

三角形においても、特定の線同士の間に逆平行な関係が見られます。代表的な例としては、以下のようなものがあります。

三角形の任意の二つの辺について、それぞれの頂点から対辺に下ろした垂線の足（垂線と対辺との交点）を結んだ直線は、三角形の残りの辺と逆平行になります。
三角形の各頂点における外接円の接線は、その頂点の向かいにある対辺と逆平行な位置関係にあります。
* 三角形の頂点から外接円の中心へ引かれた半径は、その頂点の対辺と逆平行な方向を持つ任意の直線に対して垂直に交わります。

これらの性質は、三角形の特定の線が、他の辺や線に対してどのような角度で配置されているかを示すものであり、特に相似な三角形の構成や角度に関する様々な幾何学的定理の証明において基礎となります。

さらに、円錐の断面に関する議論でも逆平行の概念が登場します。特に斜円錐（軸が底面に垂直ではない円錐）においては、断面が円となるような平行な平面の族が二組存在することが知られています。一組は円錐の底面と平行な平面による断面であり、もう一組は「subcontrary sections」（アポロニウスによって名付けられた）と呼ばれる、円錐を特定の向きで「逆平行に」切断することによって得られる断面円の族です。これらの断面円は、底面と平行な断面とは異なる角度で円錐を切断することによって得られますが、やはり断面の形状は円となります。

また、円錐の頂点と、円錐の表面上の任意の点、そしてその点を逆平行な断面円上で考えたときの対蹠点（直径を挟んで反対側の点）という三つの点を結んでできる二つの三角形は、互いに相似になることが示されています。この相似の関係性は、関連する線分が逆平行であるという幾何学的性質から直接的に導かれるものです。

このように、逆平行という概念は、単に二直線の角度関係を定義するだけでなく、円に内接する図形や三角形の特定の線、さらには円錐の断面といった、様々な幾何学的対象の持つ深い性質や定理を結びつける基盤的な役割を果たしています。これは、一見すると無関係に思える要素間に存在する、角度や方向の美しい調和を示すものです。

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